Um Curso de Calculo - Vol

12. Mostre que se a série converge uniformemente em
B
, então
a sequência f n converge uniformemente a 0 em B.
Solução
Como a série
é convergente para cada x fixado, segue do critério do termo geral que
f n (x) converge a 0, para cada x ∈ B. fixado.
Portanto, f n converge pontualmente a função nula f ≡ 0.
Para mostrar que a convergência é uniforme, utilizaremos o critério de Cauchy para séries. Dado ε
> 0, existe N 0 ∈ N tal que
para todo x ∈ B.
Em particular, temos que
para todo x ∈ B. Assim
para todo x ∈ B.
Agora, utilizando o critério de Cauchy para sequências de funções, temos que f n converge
uniformemente em B.
Pela unicidade do limite, temos que f n converge uniformemente à função nula f ≡ 0 em B.