Um Curso de Calculo - Vol

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Como f(t) = 0 em ]0, a[, resultaComoresulta, para s > 0,Logo, a transformada de Laplace da função dada éVamos apresentar, a seguir, uma pequena tabela de transformadas deLaplace, cuja verificação deixamos a seu cargo.
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■ Os autores deste livro e a edit
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Aos meus filhosMaristela e Hamilton
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Agradecimentos especiaisPara esta n
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O que há de novo nesta 6 a ediçã
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■ Videoaulas com solução de exe
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■ Exercícios
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Sumário geralVolume 11 Números Re
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Apêndice AApêndice BFunções de
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Sumário1 Sequências Numéricas1.1
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10.5 Equação de Bernoulli10.6 Equ
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Teorema de Existência e Unicidade
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Exemplo 2Seja a sequência de termo
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Exemplo 5CalculeSoluçãoExemplo 6(
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Exemplo 8Considere uma sequência d
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(Observe que, para )Assim,Portanto,
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Exercícios 1.11. Determine o termo
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Sejaéconvergente ou divergente? Ju
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1.2 Sequências Crescentes e Sequê
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n > n 0 ⇒ a - ε < a n .Mas, para
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Como a sequênciaé crescente eresu
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1. É convergente ou divergente? Ju
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8. A sequência de termo geralé co
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divergente.O símbolofoi usado para
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SoluçãoComoDaíLogo, a série dad
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No próximo exemplo, consideramos u
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série, com erro inferior aExemplo
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a) É o exemplo 3 com α = 2.b) Pel
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Soluçãoa) Este problema será res
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Pelo exemplo anterior,Ainda pelo ex
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b) TemosComoresulta que o erro que
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6. Supondo 0 < α < 1, mostre que7.
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12. Determine nde modo que seja um
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(Interprete geometricamente α m .)
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22. Considere a função Seja E >1
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s 2n ≤ s 2n - 2 .Isto decorre do
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é decrescente epelo teorema acima,
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2.3 Uma Condição Necessária para
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A sequênciaé crescente edivergent
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3.1Critério da IntegralCritério d
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SoluçãoExemplo 2Seja α > 0, com
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2. Suponha que a função f : [0, +
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DemonstraçãoComo, para todo k ≥
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Exemplo 2A sérieé convergente ou
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Do mesmo modo, prova-se que seentã
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SoluçãoTemos:Tomando-seexiste um
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oupara todo k ≥ p. A convergênci
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EntãoDemonstraçãoa) De e real, s
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Pelo critério do limite, a série
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Pelo critério do limite, conclui-s
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(Sugestão: Para mostrar a converg
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positivos. Suponhamos que exista um
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Pelo critério de comparação de r
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Soluçãoa) Fica para o leitor.b) I
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então a série é convergente.Solu
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Exemplo 2Mostre que a sérieé dive
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Segue quePelo critério da razão,
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DemonstraçãoVeja final da seção
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Exercícios 3.41. É convergente ou
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3.5Critério de Raabe
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Pelo critério de Raabe, a série
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Critério de De Morgan. Seja a sér
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(Confira!) Por outro lado, lembrand
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4.1 Série Absolutamente Convergent
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Para todo natural k,é também conv
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Comoresultapois,Seguedo critério d
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divergente para |x| > 1. Para |x| =
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2. Determine o domínio da função
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DemonstraçãoPara todo n ≥ 0,
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b) Mostre que existe uma reordenaç
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5.1Sequências de CauchyDizemos que
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l 0 = inf {a 0 , a 1 , a 2 , ...}l
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tendo em vistaque, para todo ε ≥
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1. Dizemos que uma função T: R
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para todo ε > 0 dado, existir um n
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Exemplo 2Prove que a sérieé conve
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conjugado do denominador e fazendo
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e, portanto,Pelo lema de Abel (exem
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5. Olhando para a identidade de Abe
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SoluçãoPrecisamos mostrar que, pa
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SoluçãoO domínio de f é o conju
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b) Para cada x ∈ [0, 1], (por qu
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depender de ε e de x) tal queMostr
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converge uniformemente a f emSoluç
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Para todo n ≥ 1, existe x ∈ ]-1
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Se a convergência fosse uniforme,
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b) A sequência f n , n ≥ 1, conv
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Observe que cada f n é contínua e
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Teorema 3. Seja f n uma sequência
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Critério de Cauchy. Uma sequência
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Da hipótese de cada f n ser contí
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7.1Série de FunçõesUma série de
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Observe que7.3 O Critério M de Wei
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Soluçãoa) Para todo x e para todo
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Seção 6.3,DesegueMas,Logo,Observa
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6. Sejam a k , k ≥ 0, e b k , k
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b) Prove que a sérieé uniformemen
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Como a convergência é uniforme em
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Para todo x real e para todo k ≥
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Não É Derivável em Nenhum Ponto
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é uniformemente convergente em R e
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daíDo que vimos acima resultaou se
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8.1Série de PotênciasSeja a n n
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a série alternadaque já sabemos q
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fosse convergente, pelo teorema da
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ou seja, convergirá, para todo x,
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Determinemos seu raio de convergên
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2. Seja α um real dado, com α > 0
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DemonstraçãoDemonstraçãoFica a
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Exemplo 1Seja a série de potência
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Prove que, para todo n, a n = 0.Sol
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Tendo em vista que, a 0 = 1,Assim,F
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Comoresultaou seja,Exercícios 8.3
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3. Avalie ln 2 com erro inferior, e
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desenvolvível em série de potênc
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Conclua que, para todo x ∈ [0, 1]
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Proceda, então, como no Exercício
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9.1Série de Fourier de uma Funçã
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Seja, agora, k ≥ 1 um natural fix
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edenominam-se coeficientes de Fouri
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e, portanto,Como x 2 sen nx é uma
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ou seja,Portanto, a série de Fouri
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Exercícios 9.11. Determine a séri
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Vimos no Exemplo 5 da seção anter
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eTemosIntegrando por partes, vemem
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Weierstrass.■Exemplo 2Mostre que
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Pela hipótese, a série converge u
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Fazendo x = 0 em, obtemose, portant
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Exemplo 3Determine uma série de Fo
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resolve o problema. De fato, g é c
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fazer mais alguns comentários sobr
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sendo a convergência uniforme no c
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9. Seja F : R → R dada porem que
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sendo a convergência uniforme em R
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com n inteiro. Esta afirmação dec
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Segue que F : R → R é a função
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10.1Equação Diferencial de 1a Ord
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O coeficiente angular da reta tange
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variáveis separáveis.Exemplo 3Ver
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Exemplo 2A equação não admite so
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10.3 Equações de Variáveis Separ
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Exemplo 1Resolva a equaçãoSoluç
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a) A solução constante y(x) = 0 s
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Assim, a função procurada é solu
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tanque é regida pela equaçãoTemo
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Segunda lei de Newtonem que m é a
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2. Determine y = y(x) que satisfaç
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a A seja sempre 2.10.4Equações Li
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em que as integrais indicam primiti
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seguinte modo. A solução da equa
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repetindo este procedimento, ao fin
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2. Suponha E, R e C constantes não
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8. Uma partícula desloca-se sobre
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Resolva a equaçãoSoluçãoTrata-s
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da população é regida pela equa
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resultaque é uma equação de vari
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2. Considere a equação Verifique
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Por outro lado, pela regra da cadei
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partícula é puxada novamente para
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Integrando, obtemosPara que as cond
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se os dois membros da equaçãoTemo
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b) Para v > -1, temos v + 1 > 0. As
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c) Suponhamos Então, a relaçãoen
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forma, o movimento do corpo é regi
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Sejam P(x, y) e Q(x, y) contínuas
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é necessária e suficiente para a
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Tendo em vista o exemplo anterior,
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que satisfaz a condição inicial y
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Observação. Às vezes é preferí
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e, deste modo, se γ(t) = (x, y) fo
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4. Uma partícula desloca-se sobre
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para alguma função h de uma vari
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TemosA equação não é exata, poi
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SoluçãoSubstituindo em, vemSeent
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com t = xy. TemosSegue do exemplo a
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5. Estabeleça uma fórmula para as
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em que h(t) é função de uma vari
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Suponha que no instante t = 0 a par
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Procedendo como no exemplo anterior
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restrição t ∈ pode ser eliminad
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que satisfaça as condições x(0)
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I,logo, existe uma constante c tal
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eDaí e pelo fato de -, resultaLogo
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Como t(θ 0 ) = t 0 e t(θ 1 ) = t
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x 2 - y 2 = c,que é uma família d
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A partícula descreve o movimento s
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Substituindo na 1 a equação do si
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é solução de .Exemplo 12Consider
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ou seja,Tendo em conta e , resultal
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e, portanto,ln ρ - ln(1 - cos θ)
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2. Determine uma função y = f(x)
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5. Um objeto aquecido a 80 °C é c
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f(x), 0 ≤ x ≤ t, seja igual a 2
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transforma a equaçãonuma de vari
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Desenhe a trajetória descrita pela
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definem implicitamente soluções y
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Como f é contínua em I, e at f(t)
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A solução que satisfaz a condiç
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1. Determine a solução geral.2. U
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(II) Se λ 1 = λ 2 , a solução g
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Determine a solução geral.Soluç
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resultaou seja,Trata-se, então, de
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Exemplo 7Uma partícula de massa m
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λ = -γ ± ω 1 i,em que . A solu
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ou seja,ẍ + 4ẋ + 5x = 0.A solu
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ou seja,x = e -t [A 1 e it + B 1 e
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Page 427 and 428: complexa α + iβ, admitirá, tamb
Page 429 and 430: Exemplo 3Determine a solução gera
Page 431 and 432: evidentemente, se λ 1 = λ 2 , ent
Page 433 and 434: Resolvendo este sistema, obtemosAss
Page 435 and 436: Como θ ∈ [0, 2π[, resultaAs ra
Page 437 and 438: x = A 1 e it + B 1 te it + C 1 e -i
Page 439 and 440: a posição da partícula no instan
Page 441 and 442: Por outro lado, se x = x(t), t ∈
Page 443 and 444: Logo,Deste modo,é uma solução pa
Page 445 and 446: Observação. Consideremos a equaç
Page 447 and 448: Exemplo 4Determine uma solução pa
Page 449 and 450: em que P(t) é um polinômio de mes
Page 451 and 452: simples desta equação, segue do i
Page 453 and 454: x h = Ae 2t + Bte 2t .(Verifique.)
Page 455 and 456: ẍ + x = e t cost.SoluçãoAs raí
Page 457 and 458: + N sen β 1 t), em que α, α 1 ,
Page 459 and 460: e, portanto, . Logo,é uma soluçã
Page 461 and 462: Exemplo 13(Oscilação forçada com
Page 463 and 464: resultameA solução particular 10
Page 465 and 466: λ + 2 = 0.Logo, a solução da hom
Page 467 and 468: solução particular de ẍ + bẋ
Page 469 and 470: 9. Determine a solução geral11.5
Page 471 and 472: seja uma solução particular de. T
Page 473 and 474: Temosou seja,∫sent tgt dt = ln(se
Page 475: Integrando por partes, vemPara s >
Page 479 and 480: Tendo em vistae pelo fato de M ≥
Page 481 and 482: Logo, para s > γ,b) Fica a seu car
Page 483 and 484: Vemos, pela tabela, que a função
Page 485 and 486: ou seja,(Pela tabela, a transformad
Page 487 and 488: Por outro lado, tendo em vista que(
Page 489 and 490: Vamos mostrar que, para um s sufici
Page 491 and 492: 12.1 Sistema Homogêneo de Duas Equ
Page 493 and 494: A expressão acima nos diz que ses
Page 495 and 496: em que o 1 o membro é o determinan
Page 497 and 498: SoluçãoeA solução geral é ent
Page 499 and 500: são duas soluções de, que condi
Page 501 and 502: do sistema. Então, para todo t rea
Page 503 and 504: Sendo x 1 (t) e x 2 (t) soluções
Page 505 and 506: As raízes da equação caracterís
Page 507 and 508: Por sua vez, este sistema é equiva
Page 509 and 510: mesmo se supusermos λ complexo e p
Page 511 and 512: u + λυ + λut = Aυ + tAu.Daí re
Page 513 and 514: Sejam λ 1 e λ 2 autovalores reais
Page 515 and 516: Exemplo 5Suponha queé um autovetor
Page 517 and 518: autovetores associados, respectivam
Page 519 and 520: pois (A − λ 2 I) υ = 0 e (A −
Page 521 and 522: e a solução geral éem que λ 1 =
Page 523 and 524: associados a λ 1 = 1.este sistema
Page 525 and 526: que é a solução encontrada anter
Page 527 and 528:
e, portanto,DaíSegue quesistema da
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Este sistema é equivalente a (λ =
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SoluçãoVamos, agora, determinar u
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2. Determine a solução que satisf
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for uma solução deste sistema, en
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Prove que a 11 + a 22 = 0 é uma co
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Sabe-se que, no instante t = 0, x (
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Calcule a derivada da função dada
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ououA segunda forma acima só poder
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for equivalente a uma única equaç
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Neste caso, os autovetores associad
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em que é um autovetor de λ 1 .Vej
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se primeiro w procedendo-se da segu
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SoluçãoOs autovalores são: λ 1
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Exemplo 3ResolvaSoluçãoOs autoval
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é equivalente a (λ 2 = 1)−m + n
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Assim, o autovalor λ 2 = 1 fornece
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Então, os autovetores de λ 1 são
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Exemplo 7ResolvaSoluçãoOs autoval
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Assim, υ é solução do sistema(A
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Da 3 a equação, obtemosA soluçã
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ouou(A prova é um belo exercício
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Desenhe a trajetória da partícula
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homogêneas e com coeficientes cons
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Uma solução particular é dada po
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A solução geral éExemplo 2Resolv
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Determine a solução geral dee fa
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o que significa que, quando t →
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Substituindo 7 e 8 em 4 e tendo em
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é uma solução particular da equa
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Faça um esboço das trajetórias d
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Por outro lado, a equação y″ =
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y = A ln (−x) + B.Vamos agora enu
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(1 + x 2 ) y″ + 2xy′ = 0que sat
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10. Suponha que y = f (x), x ∈ I,
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teorema nos diz que se f (x) e g (x
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(x) ≠ 0.O corolário acima nos di
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então α = β = 0.Dizemos que f e
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Se, para todo x ∈ I, g (x) = 0, e
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de f e g serem linearmente independ
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é a solução geral de .Demonstra
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independentes.y = Ae x + Bx, x > 1
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3. Determine uma equação y″ + p
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é, também, solução de . (Observ
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SoluçãoVamos tentar uma solução
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e, portanto,Por outro lado, φ 12(x
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ou seja,Para k ≥ 3,Substituindo e
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Fazendo n = u′, obtemosque é uma
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Assim,é solução. Dee da observa
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Para α = 3 e m = 1 temos uma ident
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Temos, então, a solução particul
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b) Mostre que é razoável tentar-s
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Mostre que a solução geral de x 4
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20. Considere a equação y″ + p
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I 2 contendo x 0 , tais queφ 1 (x
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que é uma equação diferencial ex
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Temos as soluçõeseObserve que, pa
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Temos as soluçõesObserve quee
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interceptam-se no ponto (-c, 0).y =
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Consideremos a equaçãoy′ = x 2
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SoluçãoSejaTemos g(0) 0. Basta pr
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ou seja,Logo, φ é uma função í
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Observe que o gráfico deObservaç
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A função constante y = 0 é solu
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e, portanto,Conclusãoé a família
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Exercícios 14.11. Resolva a equaç
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com x 0 ∈ I. Prove que y = φ(x),
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O objetivo deste capítulo é desta
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y 2 - 1 = 0 ⇔ y = ±1.Assim, y =
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é = um fator integrante para . (Ve
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Exemplo 2ResolvaSoluçãoA função
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SejaDetermine a solução que satis
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Logo, a solução geral deéem que
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em que a e b são constantes não n
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com u = u(x). Temos y ' = u + xu '
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(Esta condição é equivalente aNe
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Façamos a mudança de variávelu =
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que é uma equação de variáveis
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A função x = x(t) é estritamente
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que satisfaça as condições inici
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sistemaObserve que se y = y(x), x
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em queSeja, então, y = y(x), x ∈
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em que ẋ = v.Exemplo 3Considere a
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(Sugerimos ao leitor resolver o pro
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é uma solução da equação dada.
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eSubstituindo eme simplificando, re
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para todo x em I. Como estamos supo
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dada porNestas condições, o gráf
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(Observe que, para todo n ≥ 1, o
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para todo x ∈ [x 0 - r, x 0 + r].
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e, portanto,Para podermos permutar
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y 1 (x 0 ) = y 2 (x 0 ) = y 0 .Nest
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em [x 0 - d, x 0 + d] e, portanto,y
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B.1Demonstração do Lema da Seçã
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é constante. Como , resulta que, p
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Se, para todo natural n,f (-π) = f
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em ]x 0 - δ, x 0 + δ[, segue quel
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e, portanto,Segue que, para todo x
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Logo, a sérieconverge uniformement
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[a, π], com 0 < a < π, e, portant
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Seja h : [-π, π] → R dada porCo
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eSegue que, para todo x ∈ [-π,
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■Fica a cargo do leitor pensar na
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resulta que a sérieé duas vezes d
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C.1Lema de KummerO objetivo deste a
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com H finito ou infinito. Nestas co
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Neste caso, o critério de Kummer
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d) Considere a sequência de interv
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Exercícios 2.2
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Exercícios 3.21. a) Convergenteb)
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Exercícios 3.5CAPÍTULO 4Exercíci
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CAPÍTULO 6Exercícios 6.1Exercíci
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Como cada s n é contínua em R (s
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CAPÍTULO 9Exercícios 9.1Exercíci
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Exercícios 10.4
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Exercícios 10.6
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Exercícios 10.8
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Exercícios 10.11
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Exercícios 11.2
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Exercícios 11.4
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CAPÍTULO 12Exercícios 12.3
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Exercícios 12.4
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CAPÍTULO 13Exercícios 13.17. Suge
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9. Verifica-se por inspeção que y
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1. APOSTOL, T. M. Análisis matemá
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18. _________________ . Oscillating
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Os Materiais Suplementares do livro
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Capítulo 3Capítulo 4Capítulo6Cap
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Capítulo 4Capítulo 5Termos Positi
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Agora, seja ε = 1/2, e considere o
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em que a n e b n são sequências c
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Comoe g é uma função contínua,
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SoluçãoAssuma queem que a ∈ R.
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para todo r > 0. Logo, a sequência
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SoluçãoDe fato, considere a funç
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Indutivamente,Logo,Dado ε > 0, pod
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Capítulo Séries Numéricas21. Cal
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Sabemos queLogo,3. Mostre que a sé
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5. Suponha que f :[0, ∞) → (0,
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Observe que a equação acima só
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10. Apresente uma série convergent
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O mesmo processo pode ser usado par
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Assim, s n é crescente e limitada,
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Capítulo3Critérios de Convergênc
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para todo k ≤ 1.Além disso,e ass
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é divergente.SoluçãoAssim, pelo
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SoluçãoPelo critério de compara
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Assim, pelo critério da razão, a
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e portanto a série converge pelo c
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Capítulo4Séries Absolutamente Con
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SoluçãoObserve queporém não pod
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Como α > 2, então α /2 > 1, e po
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Assim7. Seja a um número real. Det
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SoluçãoSabemos que, se |r|< 1, en
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Com isso, temos que12. Calcule a so
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Agora, seentão, a n é uma série
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converge, concluindo a prova.16. Se
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CapítuloCritérios de Cauchy e de
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Utilizando o teorema do confronto,
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Sejae considere λ < 1. Mostre que
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Logo, T é contínua em x 0 . Pela
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Agora, a n = π/2 arctg(n) é uma s
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Como a n é uma sequência decresce
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l 2 - {(b n ); (b n ) é uma sequê
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Capítulo Sequências de Funções6
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converge uniformemente em R. Verifi
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para todo x ∈ [a, b]Concluímos a
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uniformemente em B.SoluçãoUtiliza
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A afirmação é falsa. Tome. é co
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14. Dê exemplo de uma sequência d
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Capítulo Série de Funções71. En
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Como é uma série absolutamente co
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Observe que seconverge uniformement
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é uniformemente convergente em R.
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Por hipótese, s k converge uniform
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Como f é uma função par, então
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para todo x ∈ R.Em particular, se
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12. Mostre que se a série converge
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para todo x ∈ I.Agora, utilizando
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para todo x ∈ [x 0 - 1, x 0 +1].C
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para cada x ∈ R.Pode ser mostrado
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SoluçãoPrimeiramente, observe que
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SoluçãoComo os termos =são não
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ConsidereDeste modo, calculemos o r
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É fácil ver que o raio de converg
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Contudo, como | x | < 1, podemos ve
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ConsidereContudopara todo | x | < 1
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para todo | t | < 1. AssimDeste mod
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ou seja,ou aindaDeste modo, temos q
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Utilizando a dica, temos que f (x)
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CapítuloIntrodução às Séries d
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2. Determine a série de Fourier da
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Portanto, a série de Fourier de f
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Como f(-u) = - f(u), temos queLogoe
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7. Seja f:[-π, π] → R uma funç
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pois h(x)cos(nx) é uma função í
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9. Encontre a soma deDica: Utilize
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Por fim, f(-π) = 0 = f(π).Logo, p
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se f for descontínua em x.Observe
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se f for descontínua em x.Segue qu
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Como f é uma função periódica c
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Logoe assimPortanto, a série de Fo
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17. Seja f n :[-π, π] → R uma s
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Capítulo10Equações Diferenciais
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diferencial se comporta com relaç
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Observe que se α < 0 temos duas so
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Além disso, como γ(0) = (0, c), t
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4. Resolva a equação diferenciale
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Logo6. Resolva a equação diferenc
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em queDe fatoFazendo a mudança de
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9. Considere a equaçãoem que k e
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Integrando, obtemosLogoem que K 1
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em que K é uma constante. Escolha
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é uma função tal queE, portanto,
Page 986 and 987:
e portantoé exata.15. O movimento
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Integrando a equação, obtemosAssi
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Portanto, z satisfaz a equação de
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Assim,2. Esboce o gráfico da solu
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SoluçãoMultiplicando ambos os lad
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Observe que, no instante t = 0, a p
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7. Seja a ≠ 1. Calcule a soluçã
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Tem-se duas equações característ
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que tem raízesLogo, a solução ge
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em que a, b, c ∈ R.SoluçãoAs ra
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com A, B ∈ R. A equação caracte
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15. Seja b ∈ R um número não nu
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Portanto,ePela tabela de transforma
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em quePela tabela de transformadas,
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em que k 1 , k 2 ∈ R.2. Resolva o
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Determine a solução geral do sist
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(A − πI) v 2 = 0em queé um veto
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logo, 3x = y. Então, os autovetore
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em queé um vetor de R 2 . Desta fo
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Portanto, as soluções do sistema
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autovetor particular éAutovetores
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11. Determine a solução geral da
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Agora, observe quesão soluções p
Page 1032 and 1033:
e a equação é equivalente ao sis
Page 1034 and 1035:
Logo, uma solução particular é d
Page 1036 and 1037:
Portanto, θ(t) = θ(t 0 ) + t, e p
Page 1038 and 1039:
Portanto, X(t) = e Bt X(0) é solu
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SoluçãoO primeiro passo é impor
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SoluçãoSuponha que α , β ∈ R
Page 1044 and 1045:
logo W(x) ≠ 0 para todo 0 < x <
Page 1046 and 1047:
consequentemente,Então, devemos pr
Page 1048 and 1049:
SoluçãoDevido ao formato da equa
Page 1050 and 1051:
12. Encontre a solução geral para
Page 1052 and 1053:
com x > 0.SoluçãoSabe-se que a so
Page 1054 and 1055:
Portanto, a solução geral écom A
Page 1056 and 1057:
com A, B ∈ R.Volume 4Capítulo14T
Page 1058 and 1059:
Verifique que as hipóteses do teor
Page 1060 and 1061:
em que x ∈ I e y (x) > 0 para tod
Page 1062 and 1063:
6. Considere a equaçãoVerifique q
Page 1064 and 1065:
Impondo a condição y(0) = 1, segu
Page 1066 and 1067:
Fazendo f (x , y) = e y + e 2y + c,
Page 1068 and 1069:
e
Page 1070 and 1071:
Portanto,e
Page 1072 and 1073:
Portanto,14. Seja φ n a sequência
Page 1074 and 1075:
Uma vez que são contínuas em Ω =
Page 1076 and 1077:
Sabe-se queSendo, segue quePortanto
Page 1078 and 1079:
do problema considerado.17. Determi
Page 1080 and 1081:
para todo n > 0. Portanto, para tod
Page 1082 and 1083:
2. Determine as soluções dos segu
Page 1084 and 1085:
Impondo a condição y(π) = 0, obt
Page 1086 and 1087:
em que a , b ∈ R e a > 0 tem a pr
Page 1088 and 1089:
Finalmente, y (t) = z (t) + 2, logo
Page 1090 and 1091:
em que k ∈ R é uma constante. Se
Page 1092 and 1093:
e, assim,Faça v = zu, daíEssa úl
Page 1094 and 1095:
consequentemente,Portanto,em que c
Page 1096 and 1097:
em que c ∈ R é uma constante.Imp
Page 1098 and 1099:
Logo, a equação de Riccati associ
Page 1100 and 1101:
O conjunto dos números racionais
Page 1102 and 1103:
M1) Associatividade da multiplicaç
Page 1104 and 1105:
Note que o grau do produto é a som
Page 1106 and 1107:
Do mesmo modo, multiplicamos 0 por
Page 1108 and 1109:
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n -
Page 1110 and 1111:
Portanto, as raízes da equação a
Page 1112 and 1113:
Uma inequação é dita de 1 o grau
Page 1114 and 1115:
inequação devemos analisar cada u
Page 1116 and 1117:
intervalos: ] - ∞, -4[, ] -4, 5[
Page 1118 and 1119:
Além destas operações, definimos
Page 1120:
ax 2 + bx + c = 0, ou seja, f (x) =
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Um Curso de Calculo - Vol

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