Um Curso de Calculo - Vol

Demonstração
Da hipótese, segue que, para todo k ≥ m,
a k b k – a k + 1 b k + 1 > σak > 0.
Daí, para todo k ≥ m, a k b k > a k + 1 b k + 1 . Assim, a sequência a k b k , k ≥ m, é
decrescente e limitada inferiormente por zero, pois a k e b k são positivos
para todo k. Logo,
existe e é finito. Segue que a série
telescópica
é convergente. Da desigualdade
anterior (observe que tal desigualdade é equivalente a
0 < σa k ≤ a k b k – a k + 1 b k + 1 )
e tendo em vista o critério de comparação, segue a convergência da série
■
C.2Critério de Kummer
Juntando o lema de Kummer com o critério de comparação de razões,
temos o incrível critério de Kummer.
Critério de Kummer. Sejam
e duas séries de termos positivos, com
divergente. Suponhamos que