Um Curso de Calculo - Vol

Recommendations

Info

No information found
4.1 Série Absolutamente Convergente e SérieCondicionalmente ConvergenteExemplo 1Verifique que a sérieé absolutamente convergente.SoluçãoPara todo k ≥ 1,Comoé convergente, resulta, pelo critério de comparação,que
Page 5 and 6:
■ Os autores deste livro e a edit
Page 7 and 8:
Aos meus filhosMaristela e Hamilton
Page 9 and 10:
Agradecimentos especiaisPara esta n
Page 11 and 12:
O que há de novo nesta 6 a ediçã
Page 13 and 14:
■ Videoaulas com solução de exe
Page 15 and 16:
■ Exercícios
Page 19 and 20:
Sumário geralVolume 11 Números Re
Page 21 and 22:
Apêndice AApêndice BFunções de
Page 23 and 24:
Sumário1 Sequências Numéricas1.1
Page 25 and 26:
10.5 Equação de Bernoulli10.6 Equ
Page 27 and 28:
Teorema de Existência e Unicidade
Page 29 and 30:
Exemplo 2Seja a sequência de termo
Page 31 and 32:
Exemplo 5CalculeSoluçãoExemplo 6(
Page 33 and 34:
Exemplo 8Considere uma sequência d
Page 35 and 36:
(Observe que, para )Assim,Portanto,
Page 37:
Exercícios 1.11. Determine o termo
Page 41 and 42:
Sejaéconvergente ou divergente? Ju
Page 43 and 44:
1.2 Sequências Crescentes e Sequê
Page 45 and 46:
n > n 0 ⇒ a - ε < a n .Mas, para
Page 47 and 48:
Como a sequênciaé crescente eresu
Page 49 and 50:
1. É convergente ou divergente? Ju
Page 51 and 52:
8. A sequência de termo geralé co
Page 53 and 54:
divergente.O símbolofoi usado para
Page 55 and 56:
SoluçãoComoDaíLogo, a série dad
Page 57 and 58:
No próximo exemplo, consideramos u
Page 59 and 60:
série, com erro inferior aExemplo
Page 61 and 62:
a) É o exemplo 3 com α = 2.b) Pel
Page 63 and 64:
Soluçãoa) Este problema será res
Page 65 and 66:
Pelo exemplo anterior,Ainda pelo ex
Page 67 and 68:
b) TemosComoresulta que o erro que
Page 70 and 71:
6. Supondo 0 < α < 1, mostre que7.
Page 72 and 73:
12. Determine nde modo que seja um
Page 74 and 75:
(Interprete geometricamente α m .)
Page 76 and 77:
22. Considere a função Seja E >1
Page 78 and 79:
s 2n ≤ s 2n - 2 .Isto decorre do
Page 80 and 81:
é decrescente epelo teorema acima,
Page 82 and 83:
2.3 Uma Condição Necessária para
Page 84 and 85:
A sequênciaé crescente edivergent
Page 86 and 87: 3.1Critério da IntegralCritério d
Page 88 and 89: SoluçãoExemplo 2Seja α > 0, com
Page 90 and 91: 2. Suponha que a função f : [0, +
Page 92 and 93: DemonstraçãoComo, para todo k ≥
Page 94 and 95: Exemplo 2A sérieé convergente ou
Page 96 and 97: Do mesmo modo, prova-se que seentã
Page 98 and 99: SoluçãoTemos:Tomando-seexiste um
Page 100 and 101: oupara todo k ≥ p. A convergênci
Page 102 and 103: EntãoDemonstraçãoa) De e real, s
Page 104 and 105: Pelo critério do limite, a série
Page 106: Pelo critério do limite, conclui-s
Page 109 and 110: (Sugestão: Para mostrar a converg
Page 111 and 112: positivos. Suponhamos que exista um
Page 113 and 114: Pelo critério de comparação de r
Page 115 and 116: Soluçãoa) Fica para o leitor.b) I
Page 117 and 118: então a série é convergente.Solu
Page 119 and 120: Exemplo 2Mostre que a sérieé dive
Page 121 and 122: Segue quePelo critério da razão,
Page 123 and 124: DemonstraçãoVeja final da seção
Page 125 and 126: Exercícios 3.41. É convergente ou
Page 127 and 128: 3.5Critério de Raabe
Page 129: Pelo critério de Raabe, a série
Page 132 and 133: Critério de De Morgan. Seja a sér
Page 134 and 135: (Confira!) Por outro lado, lembrand
Page 138 and 139: é convergente. Deste modo, a séri
Page 140 and 141: Comoé convergente (série harmôni
Page 142 and 143: Demonstração■Exemplo 1Determine
Page 144 and 145: Observação. Para cadaé um númer
Page 146 and 147: 5. Utilizando a fórmula de Taylor
Page 148 and 149: Dizemos que uma série convergente,
Page 150 and 151: ( Teorema de Riemann.) Prove que se
Page 152 and 153: ou aindaVemos, assim, que se a n fo
Page 154 and 155: (Observe que para todo ∊ > 0 dado
Page 156 and 157: Dos teoremas 1 e 2 resulta a seguin
Page 158 and 159: 5. Seja T: R → R uma função. Di
Page 160 and 161: Suponhamos que a sequência a k sej
Page 162 and 163: eSoluçãoa) e ix + e 2ix + e 3ix +
Page 164 and 165: Temos, então, a identidade de Abel
Page 166 and 167: 3. É convergente ou divergente? Ju
Page 168 and 169: 6.1Sequência de Funções. Converg
Page 170 and 171: Para |x| > 1 e x = -1, a sequência
Page 172 and 173: que f n é dada porconverge a f em
Page 174 and 175: Exercícios 6.11. Determine o domí
Page 176 and 177: A condição “para todo x ∈ B,
Page 178 and 179: Exemplo 2A sequência f n , n ≥ 1
Page 180 and 181: Deste modo, a sequência de funçõ
Page 182 and 183: dado ε > 0, existe n 0 tal queSegu
Page 184 and 185: b) f n , n ≥ 1, converge uniforme
Page 186 and 187:
em que cada f n é suposta contínu
Page 188 and 189:
(Sugestão: Utilize a Observação
Page 190 and 191:
Segue daí que, para todo x ∈ B,
Page 192 and 193:
De e segue .Demonstração do teore
Page 194 and 195:
todos os x para os quais a sérieco
Page 196 and 197:
séries numéricas, dado ε > 0, ex
Page 198 and 199:
Soluçãoa) Para todo x ∈ R e par
Page 200 and 201:
Exercícios 7.31. Verifique que a s
Page 202 and 203:
em queedenomina-se série de Fourie
Page 204 and 205:
Como a convergência é uniforme em
Page 206 and 207:
DemonstraçãoFica a cargo do leito
Page 209 and 210:
6. Considere a função f dada pora
Page 211 and 212:
Faça você o gráfico de f 0 + f 1
Page 213 and 214:
Confira!) TemosPara n > m,que é m
Page 215 and 216:
Logo,
Page 217 and 218:
DemonstraçãoSendo, por hipótese,
Page 219 and 220:
DemonstraçãoSeja A o conjunto de
Page 221 and 222:
desde que o limite exista, finito o
Page 223 and 224:
Soluçãoé uma série de potência
Page 225 and 226:
Comosão convergentes (verifique),
Page 227 and 228:
8.3 Continuidade, Integrabilidade e
Page 229 and 230:
DemonstraçãoVeja Exercício 2 des
Page 231 and 232:
e, portanto,para todo n ≥ 1. Segu
Page 233 and 234:
em que os a n são coeficientes a s
Page 235 and 236:
Ache uma fórmula para calcular a s
Page 237 and 238:
Exercícios do Capítulo1. Mostre q
Page 239 and 240:
7. Avalie com erro inferior, em mó
Page 241 and 242:
c) Verifique que a sérietem raio d
Page 243 and 244:
(Sugestão: Veja Exercício 16.)d)
Page 245 and 246:
(Sugestão: Utilize a fórmula Tayl
Page 247 and 248:
SoluçãoPara todo x ∈ [−π, π
Page 249 and 250:
Portanto,Conclusão:De modo análog
Page 251 and 252:
pois x cos nx é uma função ímpa
Page 253 and 254:
Exemplo 4Determine a série de Four
Page 255 and 256:
Temosem quePortanto,Da mesma forma,
Page 257 and 258:
3. Seja Prove que a série de Fouri
Page 259 and 260:
eAs funções f 1 e f 2 são de cla
Page 261 and 262:
em quePortanto,MaseLogo, existe M 1
Page 263 and 264:
eentãoVamos, agora, demonstrar o s
Page 265 and 266:
■Exemplo 1Tendo em vista o Exempl
Page 267 and 268:
Exemplo 2Utilizando o Exemplo 1, de
Page 269 and 270:
para todo x em [0, π], sendo a con
Page 271 and 272:
Mostre que a série de Fourier de g
Page 273 and 274:
Observe queTendo em vista o que vim
Page 275 and 276:
Prove que f (−π) = f(π).4. Seja
Page 277 and 278:
sendo a convergência uniforme em R
Page 279 and 280:
a)b) Seja a ∈] 0, π[ um real dad
Page 281 and 282:
Além disso, a convergência será
Page 283 and 284:
Esboce o gráfico da função F : R
Page 285 and 286:
SoluçãoPrecisamos verificar que s
Page 287 and 288:
Conclusão: y = e (x2 - 1)/2 , x qu
Page 289 and 290:
pois y′(x) = 0 e y(x) = a. Supond
Page 291 and 292:
3. Determine, caso existam, as solu
Page 293 and 294:
em que as integrais estão indicand
Page 295 and 296:
econstanteé a família de todas as
Page 297 and 298:
Soluçãox(t) = 0 é a única solu
Page 299 and 300:
água no tanque no instante t será
Page 301 and 302:
Segue quePara t = 0, v = 2, assimPa
Page 303:
x(t). TemosDe v(0) = 0, resulta k =
Page 306 and 307:
tangência. Sabendo que determinef.
Page 308 and 309:
que é, também, uma equação de v
Page 310 and 311:
em que as integrais indicam primiti
Page 312 and 313:
Soluçãoa) É uma equação linear
Page 314 and 315:
Lembrando queisto significa, se hou
Page 316 and 317:
4. Um objeto aquecido a 100 °C é
Page 318 and 319:
Equação de BernoulliPara y ≠ 0,
Page 320 and 321:
Exercícios 10.51. Resolva as equa
Page 322 and 323:
Consideremos a equaçãoVeremos, a
Page 324 and 325:
Integrando,Como para cada real k 1
Page 326 and 327:
variável independente x.Exemplo 2
Page 328 and 329:
Uma partícula de massa m = 1 deslo
Page 330 and 331:
e, portanto, Segue que o movimento
Page 332 and 333:
(Conservação da energia) Suponha
Page 334 and 335:
então x = x(t), com t em R, será
Page 336 and 337:
Segue que para cada existe um únic
Page 338 and 339:
possível obter vários resultados
Page 340 and 341:
y = y(t), com t = t(x), será solu
Page 342 and 343:
Sendo P(x, y) e Q(x, y) de classe C
Page 344 and 345:
é uma solução do problema.Exempl
Page 346 and 347:
que satisfaz a condição inicial y
Page 348 and 349:
Resolvendo esta equação do 2 o gr
Page 350 and 351:
xy + y 2 = c, c constante.Vejamos,
Page 352 and 353:
SoluçãoAs trajetórias ortogonais
Page 354 and 355:
é solução da equação x dx + 2y
Page 356 and 357:
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.Secom h
Page 358 and 359:
Integrando a 1 a equação em rela
Page 360 and 361:
Basta, então, tomar h tal queou se
Page 362 and 363:
Exercícios 10.91. Determine um fat
Page 364 and 365:
7. Resolva pelo processo que achar
Page 366 and 367:
será solução da equação de var
Page 368 and 369:
Portanto, o movimento da partícula
Page 370 and 371:
(x - y) 2 + y 2 = 1.Como estamos in
Page 372 and 373:
Determine uma família de curvas qu
Page 374 and 375:
Sendo k = 0, pois x(0) = 0, resulta
Page 376 and 377:
ou seja,Exemplo 7Seja f(x) uma fun
Page 378 and 379:
Exemplo 8Seja θ = θ (t) solução
Page 380 and 381:
SoluçãoMultiplicando a 1 a equaç
Page 382 and 383:
SoluçãoComo vimos, a partícula d
Page 384 and 385:
ou seja,Daí,1 + x 2 = e 2t - 2xe t
Page 386 and 387:
será solução de .Observação. N
Page 388 and 389:
1), podemos trabalhar com u > 0. Di
Page 390 and 391:
Considere a equaçãoDetermine uma
Page 392 and 393:
Seja ρ = k(1 - cos θ), θ ∈ R.
Page 394 and 395:
movimento regido pela equaçãoSupo
Page 396 and 397:
(x + 2y′)y″ = 0.Determine, ent
Page 398 and 399:
a) Verifique queé solução.b) Det
Page 400 and 401:
b) Determine uma solução y = y(x)
Page 402 and 403:
em que Ω é o semiplano y > 0; m,
Page 404 and 405:
11.1 Equações Diferenciais Linear
Page 406 and 407:
Seja t 0 um real fixo em I. Comoé
Page 408 and 409:
é a carga, no instante t, no capac
Page 410 and 411:
em que L (Henry) é a indutância,
Page 412 and 413:
Como ẋ(0) = 0 e ẋ = Ae -t - 2 B
Page 414 and 415:
A solução geral é, então,x = e
Page 416 and 417:
mola, quando esta se encontra em se
Page 418 and 419:
para todo t ≥ 0; logo, a energia
Page 420 and 421:
A figura abaixo mostra o gráfico d
Page 422 and 423:
Se α = 0Consideremos novamente a e
Page 424 and 425:
2. Esboce o gráfico da solução q
Page 426 and 427:
10. Uma partícula de massa m = 1 d
Page 428 and 429:
. A solução geral será, então,E
Page 430 and 431:
em que a 1 , a 2 , a 3 e a 4 são r
Page 432 and 433:
Tendo em vista a 1 a equação, res
Page 434 and 435:
Antes de passarmos ao próximo exem
Page 436 and 437:
λ 4 + 16 = 0,cujas raízes, como v
Page 438 and 439:
2. Considere no plano um campo de f
Page 440 and 441:
Consideremos a equação linear, de
Page 442 and 443:
Exemplo 1Determine a solução gera
Page 444 and 445:
será do grau 2 (verifique). Vamos,
Page 446 and 447:
λ = 0 (raiz dupla) é a única rai
Page 448 and 449:
será constante. Como toda função
Page 450 and 451:
que é um polinômio de mesmo grau
Page 452 and 453:
Exemplo 8Determine a solução gera
Page 454 and 455:
Consideremos a equaçãoe suponhamo
Page 456 and 457:
SoluçãoO 2 o membro é da formaem
Page 458 and 459:
SoluçãoA equação do movimento
Page 460 and 461:
Logo, n 1 = 0 e. Assim,é uma solu
Page 462 and 463:
resultaAs raízes da equação cara
Page 464 and 465:
A solução geral é entãoTemos:po
Page 466 and 467:
2. Considere a equaçãoProve que s
Page 468 and 469:
constantes positivas. Resolva a equ
Page 470 and 471:
em quecaracterística forem reais e
Page 472 and 473:
Resolvendo o sistema pela regra de
Page 474 and 475:
11.6 Determinação de Solução Pa
Page 476:
Como f(t) = 0 em ]0, a[, resultaCom
Page 479 and 480:
Tendo em vistae pelo fato de M ≥
Page 481 and 482:
Logo, para s > γ,b) Fica a seu car
Page 483 and 484:
Vemos, pela tabela, que a função
Page 485 and 486:
ou seja,(Pela tabela, a transformad
Page 487 and 488:
Por outro lado, tendo em vista que(
Page 489 and 490:
Vamos mostrar que, para um s sufici
Page 491 and 492:
12.1 Sistema Homogêneo de Duas Equ
Page 493 and 494:
A expressão acima nos diz que ses
Page 495 and 496:
em que o 1 o membro é o determinan
Page 497 and 498:
SoluçãoeA solução geral é ent
Page 499 and 500:
são duas soluções de, que condi
Page 501 and 502:
do sistema. Então, para todo t rea
Page 503 and 504:
Sendo x 1 (t) e x 2 (t) soluções
Page 505 and 506:
As raízes da equação caracterís
Page 507 and 508:
Por sua vez, este sistema é equiva
Page 509 and 510:
mesmo se supusermos λ complexo e p
Page 511 and 512:
u + λυ + λut = Aυ + tAu.Daí re
Page 513 and 514:
Sejam λ 1 e λ 2 autovalores reais
Page 515 and 516:
Exemplo 5Suponha queé um autovetor
Page 517 and 518:
autovetores associados, respectivam
Page 519 and 520:
pois (A − λ 2 I) υ = 0 e (A −
Page 521 and 522:
e a solução geral éem que λ 1 =
Page 523 and 524:
associados a λ 1 = 1.este sistema
Page 525 and 526:
que é a solução encontrada anter
Page 527 and 528:
e, portanto,DaíSegue quesistema da
Page 529 and 530:
Este sistema é equivalente a (λ =
Page 531 and 532:
SoluçãoVamos, agora, determinar u
Page 533 and 534:
2. Determine a solução que satisf
Page 535 and 536:
for uma solução deste sistema, en
Page 537 and 538:
Prove que a 11 + a 22 = 0 é uma co
Page 539 and 540:
Sabe-se que, no instante t = 0, x (
Page 541 and 542:
Calcule a derivada da função dada
Page 543 and 544:
ououA segunda forma acima só poder
Page 545 and 546:
for equivalente a uma única equaç
Page 547 and 548:
Neste caso, os autovetores associad
Page 549 and 550:
em que é um autovetor de λ 1 .Vej
Page 551 and 552:
se primeiro w procedendo-se da segu
Page 553 and 554:
SoluçãoOs autovalores são: λ 1
Page 555 and 556:
Exemplo 3ResolvaSoluçãoOs autoval
Page 557 and 558:
é equivalente a (λ 2 = 1)−m + n
Page 559 and 560:
Assim, o autovalor λ 2 = 1 fornece
Page 561 and 562:
Então, os autovetores de λ 1 são
Page 563 and 564:
Exemplo 7ResolvaSoluçãoOs autoval
Page 565 and 566:
Assim, υ é solução do sistema(A
Page 567 and 568:
Da 3 a equação, obtemosA soluçã
Page 569:
ouou(A prova é um belo exercício
Page 572 and 573:
Desenhe a trajetória da partícula
Page 574 and 575:
homogêneas e com coeficientes cons
Page 576 and 577:
Uma solução particular é dada po
Page 578 and 579:
A solução geral éExemplo 2Resolv
Page 580 and 581:
Determine a solução geral dee fa
Page 582 and 583:
o que significa que, quando t →
Page 584 and 585:
Substituindo 7 e 8 em 4 e tendo em
Page 586 and 587:
é uma solução particular da equa
Page 588 and 589:
Faça um esboço das trajetórias d
Page 590 and 591:
Por outro lado, a equação y″ =
Page 592 and 593:
y = A ln (−x) + B.Vamos agora enu
Page 594 and 595:
(1 + x 2 ) y″ + 2xy′ = 0que sat
Page 596 and 597:
10. Suponha que y = f (x), x ∈ I,
Page 598 and 599:
teorema nos diz que se f (x) e g (x
Page 600 and 601:
(x) ≠ 0.O corolário acima nos di
Page 602 and 603:
então α = β = 0.Dizemos que f e
Page 604 and 605:
Se, para todo x ∈ I, g (x) = 0, e
Page 606 and 607:
de f e g serem linearmente independ
Page 608 and 609:
é a solução geral de .Demonstra
Page 610 and 611:
independentes.y = Ae x + Bx, x > 1
Page 612 and 613:
3. Determine uma equação y″ + p
Page 614 and 615:
é, também, solução de . (Observ
Page 616 and 617:
SoluçãoVamos tentar uma solução
Page 618 and 619:
e, portanto,Por outro lado, φ 12(x
Page 620 and 621:
ou seja,Para k ≥ 3,Substituindo e
Page 622 and 623:
Fazendo n = u′, obtemosque é uma
Page 624 and 625:
Assim,é solução. Dee da observa
Page 626 and 627:
Para α = 3 e m = 1 temos uma ident
Page 628 and 629:
Temos, então, a solução particul
Page 630 and 631:
b) Mostre que é razoável tentar-s
Page 632 and 633:
Mostre que a solução geral de x 4
Page 634 and 635:
20. Considere a equação y″ + p
Page 636 and 637:
I 2 contendo x 0 , tais queφ 1 (x
Page 638 and 639:
que é uma equação diferencial ex
Page 640 and 641:
Temos as soluçõeseObserve que, pa
Page 642 and 643:
Temos as soluçõesObserve quee
Page 644 and 645:
interceptam-se no ponto (-c, 0).y =
Page 646 and 647:
Consideremos a equaçãoy′ = x 2
Page 648 and 649:
SoluçãoSejaTemos g(0) 0. Basta pr
Page 650 and 651:
ou seja,Logo, φ é uma função í
Page 652 and 653:
Observe que o gráfico deObservaç
Page 654 and 655:
A função constante y = 0 é solu
Page 656 and 657:
e, portanto,Conclusãoé a família
Page 658 and 659:
Exercícios 14.11. Resolva a equaç
Page 660 and 661:
com x 0 ∈ I. Prove que y = φ(x),
Page 662 and 663:
O objetivo deste capítulo é desta
Page 664 and 665:
y 2 - 1 = 0 ⇔ y = ±1.Assim, y =
Page 666 and 667:
é = um fator integrante para . (Ve
Page 668 and 669:
Exemplo 2ResolvaSoluçãoA função
Page 670 and 671:
SejaDetermine a solução que satis
Page 672 and 673:
Logo, a solução geral deéem que
Page 674 and 675:
em que a e b são constantes não n
Page 676 and 677:
com u = u(x). Temos y ' = u + xu '
Page 678 and 679:
(Esta condição é equivalente aNe
Page 680 and 681:
Façamos a mudança de variávelu =
Page 682 and 683:
que é uma equação de variáveis
Page 684 and 685:
A função x = x(t) é estritamente
Page 686 and 687:
que satisfaça as condições inici
Page 688 and 689:
sistemaObserve que se y = y(x), x
Page 690 and 691:
em queSeja, então, y = y(x), x ∈
Page 692 and 693:
em que ẋ = v.Exemplo 3Considere a
Page 694 and 695:
(Sugerimos ao leitor resolver o pro
Page 696 and 697:
é uma solução da equação dada.
Page 698 and 699:
eSubstituindo eme simplificando, re
Page 700 and 701:
para todo x em I. Como estamos supo
Page 702 and 703:
dada porNestas condições, o gráf
Page 704 and 705:
(Observe que, para todo n ≥ 1, o
Page 706 and 707:
para todo x ∈ [x 0 - r, x 0 + r].
Page 708 and 709:
e, portanto,Para podermos permutar
Page 710 and 711:
y 1 (x 0 ) = y 2 (x 0 ) = y 0 .Nest
Page 712 and 713:
em [x 0 - d, x 0 + d] e, portanto,y
Page 714 and 715:
B.1Demonstração do Lema da Seçã
Page 716 and 717:
é constante. Como , resulta que, p
Page 718 and 719:
Se, para todo natural n,f (-π) = f
Page 720 and 721:
em ]x 0 - δ, x 0 + δ[, segue quel
Page 722 and 723:
e, portanto,Segue que, para todo x
Page 724 and 725:
Logo, a sérieconverge uniformement
Page 726 and 727:
[a, π], com 0 < a < π, e, portant
Page 728 and 729:
Seja h : [-π, π] → R dada porCo
Page 730 and 731:
eSegue que, para todo x ∈ [-π,
Page 732 and 733:
■Fica a cargo do leitor pensar na
Page 734 and 735:
resulta que a sérieé duas vezes d
Page 737 and 738:
C.1Lema de KummerO objetivo deste a
Page 739 and 740:
com H finito ou infinito. Nestas co
Page 741 and 742:
Neste caso, o critério de Kummer
Page 743:
d) Considere a sequência de interv
Page 750 and 751:
Exercícios 2.2
Page 752 and 753:
Exercícios 3.21. a) Convergenteb)
Page 754 and 755:
Exercícios 3.5CAPÍTULO 4Exercíci
Page 756:
CAPÍTULO 6Exercícios 6.1Exercíci
Page 759 and 760:
Como cada s n é contínua em R (s
Page 762 and 763:
CAPÍTULO 9Exercícios 9.1Exercíci
Page 767 and 768:
Exercícios 10.4
Page 770 and 771:
Exercícios 10.6
Page 772 and 773:
Exercícios 10.8
Page 774:
Exercícios 10.11
Page 778:
Exercícios 11.2
Page 783:
Exercícios 11.4
Page 787 and 788:
CAPÍTULO 12Exercícios 12.3
Page 790 and 791:
Exercícios 12.4
Page 792 and 793:
CAPÍTULO 13Exercícios 13.17. Suge
Page 796:
9. Verifica-se por inspeção que y
Page 801 and 802:
1. APOSTOL, T. M. Análisis matemá
Page 803 and 804:
18. _________________ . Oscillating
Page 809 and 810:
Os Materiais Suplementares do livro
Page 811 and 812:
Capítulo 3Capítulo 4Capítulo6Cap
Page 813 and 814:
Capítulo 4Capítulo 5Termos Positi
Page 815 and 816:
Agora, seja ε = 1/2, e considere o
Page 817 and 818:
em que a n e b n são sequências c
Page 819 and 820:
Comoe g é uma função contínua,
Page 821 and 822:
SoluçãoAssuma queem que a ∈ R.
Page 823 and 824:
para todo r > 0. Logo, a sequência
Page 825 and 826:
SoluçãoDe fato, considere a funç
Page 827 and 828:
Indutivamente,Logo,Dado ε > 0, pod
Page 829 and 830:
Capítulo Séries Numéricas21. Cal
Page 831 and 832:
Sabemos queLogo,3. Mostre que a sé
Page 833 and 834:
5. Suponha que f :[0, ∞) → (0,
Page 835 and 836:
Observe que a equação acima só
Page 837 and 838:
10. Apresente uma série convergent
Page 839 and 840:
O mesmo processo pode ser usado par
Page 841 and 842:
Assim, s n é crescente e limitada,
Page 843 and 844:
Capítulo3Critérios de Convergênc
Page 845:
para todo k ≤ 1.Além disso,e ass
Page 848 and 849:
é divergente.SoluçãoAssim, pelo
Page 850 and 851:
SoluçãoPelo critério de compara
Page 852 and 853:
Assim, pelo critério da razão, a
Page 854 and 855:
e portanto a série converge pelo c
Page 856 and 857:
Capítulo4Séries Absolutamente Con
Page 858 and 859:
SoluçãoObserve queporém não pod
Page 860 and 861:
Como α > 2, então α /2 > 1, e po
Page 862 and 863:
Assim7. Seja a um número real. Det
Page 864 and 865:
SoluçãoSabemos que, se |r|< 1, en
Page 866 and 867:
Com isso, temos que12. Calcule a so
Page 868 and 869:
Agora, seentão, a n é uma série
Page 870 and 871:
converge, concluindo a prova.16. Se
Page 872 and 873:
CapítuloCritérios de Cauchy e de
Page 874 and 875:
Utilizando o teorema do confronto,
Page 876 and 877:
Sejae considere λ < 1. Mostre que
Page 878 and 879:
Logo, T é contínua em x 0 . Pela
Page 880 and 881:
Agora, a n = π/2 arctg(n) é uma s
Page 882 and 883:
Como a n é uma sequência decresce
Page 884 and 885:
l 2 - {(b n ); (b n ) é uma sequê
Page 886 and 887:
Capítulo Sequências de Funções6
Page 888 and 889:
converge uniformemente em R. Verifi
Page 890 and 891:
para todo x ∈ [a, b]Concluímos a
Page 892 and 893:
uniformemente em B.SoluçãoUtiliza
Page 894 and 895:
A afirmação é falsa. Tome. é co
Page 896 and 897:
14. Dê exemplo de uma sequência d
Page 898 and 899:
Capítulo Série de Funções71. En
Page 900 and 901:
Como é uma série absolutamente co
Page 902 and 903:
Observe que seconverge uniformement
Page 904 and 905:
é uniformemente convergente em R.
Page 906 and 907:
Por hipótese, s k converge uniform
Page 908 and 909:
Como f é uma função par, então
Page 910 and 911:
para todo x ∈ R.Em particular, se
Page 912 and 913:
12. Mostre que se a série converge
Page 914 and 915:
para todo x ∈ I.Agora, utilizando
Page 916 and 917:
para todo x ∈ [x 0 - 1, x 0 +1].C
Page 918 and 919:
para cada x ∈ R.Pode ser mostrado
Page 920 and 921:
SoluçãoPrimeiramente, observe que
Page 922 and 923:
SoluçãoComo os termos =são não
Page 924 and 925:
ConsidereDeste modo, calculemos o r
Page 926 and 927:
É fácil ver que o raio de converg
Page 928 and 929:
Contudo, como | x | < 1, podemos ve
Page 930 and 931:
ConsidereContudopara todo | x | < 1
Page 932 and 933:
para todo | t | < 1. AssimDeste mod
Page 934 and 935:
ou seja,ou aindaDeste modo, temos q
Page 936 and 937:
Utilizando a dica, temos que f (x)
Page 938 and 939:
CapítuloIntrodução às Séries d
Page 940 and 941:
2. Determine a série de Fourier da
Page 942 and 943:
Portanto, a série de Fourier de f
Page 944 and 945:
Como f(-u) = - f(u), temos queLogoe
Page 946 and 947:
7. Seja f:[-π, π] → R uma funç
Page 948 and 949:
pois h(x)cos(nx) é uma função í
Page 950 and 951:
9. Encontre a soma deDica: Utilize
Page 952 and 953:
Por fim, f(-π) = 0 = f(π).Logo, p
Page 954 and 955:
se f for descontínua em x.Observe
Page 956 and 957:
se f for descontínua em x.Segue qu
Page 958 and 959:
Como f é uma função periódica c
Page 960 and 961:
Logoe assimPortanto, a série de Fo
Page 962 and 963:
17. Seja f n :[-π, π] → R uma s
Page 964 and 965:
Capítulo10Equações Diferenciais
Page 966 and 967:
diferencial se comporta com relaç
Page 968 and 969:
Observe que se α < 0 temos duas so
Page 970 and 971:
Além disso, como γ(0) = (0, c), t
Page 972 and 973:
4. Resolva a equação diferenciale
Page 974 and 975:
Logo6. Resolva a equação diferenc
Page 976 and 977:
em queDe fatoFazendo a mudança de
Page 978 and 979:
9. Considere a equaçãoem que k e
Page 980 and 981:
Integrando, obtemosLogoem que K 1
Page 982 and 983:
em que K é uma constante. Escolha
Page 984 and 985:
é uma função tal queE, portanto,
Page 986 and 987:
e portantoé exata.15. O movimento
Page 988 and 989:
Integrando a equação, obtemosAssi
Page 990 and 991:
Portanto, z satisfaz a equação de
Page 992 and 993:
Assim,2. Esboce o gráfico da solu
Page 994 and 995:
SoluçãoMultiplicando ambos os lad
Page 996 and 997:
Observe que, no instante t = 0, a p
Page 998 and 999:
7. Seja a ≠ 1. Calcule a soluçã
Page 1000 and 1001:
Tem-se duas equações característ
Page 1002 and 1003:
que tem raízesLogo, a solução ge
Page 1004 and 1005:
em que a, b, c ∈ R.SoluçãoAs ra
Page 1006 and 1007:
com A, B ∈ R. A equação caracte
Page 1008 and 1009:
15. Seja b ∈ R um número não nu
Page 1010 and 1011:
Portanto,ePela tabela de transforma
Page 1012 and 1013:
em quePela tabela de transformadas,
Page 1014 and 1015:
em que k 1 , k 2 ∈ R.2. Resolva o
Page 1016 and 1017:
Determine a solução geral do sist
Page 1018 and 1019:
(A − πI) v 2 = 0em queé um veto
Page 1020 and 1021:
logo, 3x = y. Então, os autovetore
Page 1022 and 1023:
em queé um vetor de R 2 . Desta fo
Page 1024 and 1025:
Portanto, as soluções do sistema
Page 1026 and 1027:
autovetor particular éAutovetores
Page 1028 and 1029:
11. Determine a solução geral da
Page 1030 and 1031:
Agora, observe quesão soluções p
Page 1032 and 1033:
e a equação é equivalente ao sis
Page 1034 and 1035:
Logo, uma solução particular é d
Page 1036 and 1037:
Portanto, θ(t) = θ(t 0 ) + t, e p
Page 1038 and 1039:
Portanto, X(t) = e Bt X(0) é solu
Page 1040 and 1041:
SoluçãoO primeiro passo é impor
Page 1042 and 1043:
SoluçãoSuponha que α , β ∈ R
Page 1044 and 1045:
logo W(x) ≠ 0 para todo 0 < x <
Page 1046 and 1047:
consequentemente,Então, devemos pr
Page 1048 and 1049:
SoluçãoDevido ao formato da equa
Page 1050 and 1051:
12. Encontre a solução geral para
Page 1052 and 1053:
com x > 0.SoluçãoSabe-se que a so
Page 1054 and 1055:
Portanto, a solução geral écom A
Page 1056 and 1057:
com A, B ∈ R.Volume 4Capítulo14T
Page 1058 and 1059:
Verifique que as hipóteses do teor
Page 1060 and 1061:
em que x ∈ I e y (x) > 0 para tod
Page 1062 and 1063:
6. Considere a equaçãoVerifique q
Page 1064 and 1065:
Impondo a condição y(0) = 1, segu
Page 1066 and 1067:
Fazendo f (x , y) = e y + e 2y + c,
Page 1068 and 1069:
e
Page 1070 and 1071:
Portanto,e
Page 1072 and 1073:
Portanto,14. Seja φ n a sequência
Page 1074 and 1075:
Uma vez que são contínuas em Ω =
Page 1076 and 1077:
Sabe-se queSendo, segue quePortanto
Page 1078 and 1079:
do problema considerado.17. Determi
Page 1080 and 1081:
para todo n > 0. Portanto, para tod
Page 1082 and 1083:
2. Determine as soluções dos segu
Page 1084 and 1085:
Impondo a condição y(π) = 0, obt
Page 1086 and 1087:
em que a , b ∈ R e a > 0 tem a pr
Page 1088 and 1089:
Finalmente, y (t) = z (t) + 2, logo
Page 1090 and 1091:
em que k ∈ R é uma constante. Se
Page 1092 and 1093:
e, assim,Faça v = zu, daíEssa úl
Page 1094 and 1095:
consequentemente,Portanto,em que c
Page 1096 and 1097:
em que c ∈ R é uma constante.Imp
Page 1098 and 1099:
Logo, a equação de Riccati associ
Page 1100 and 1101:
O conjunto dos números racionais
Page 1102 and 1103:
M1) Associatividade da multiplicaç
Page 1104 and 1105:
Note que o grau do produto é a som
Page 1106 and 1107:
Do mesmo modo, multiplicamos 0 por
Page 1108 and 1109:
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n -
Page 1110 and 1111:
Portanto, as raízes da equação a
Page 1112 and 1113:
Uma inequação é dita de 1 o grau
Page 1114 and 1115:
inequação devemos analisar cada u
Page 1116 and 1117:
intervalos: ] - ∞, -4[, ] -4, 5[
Page 1118 and 1119:
Além destas operações, definimos
Page 1120:
ax 2 + bx + c = 0, ou seja, f (x) =
show all

Um Curso de Calculo - Vol

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?