Um Curso de Calculo - Vol

para todo r > 0. Logo, a sequência a n é convergente quando q > 1 e neste
caso Quando q = 1, temos que e como
temos que a n é divergente.
Concluímos que a n é convergente se e somente se q > 1, e neste caso seu limite é 0.
12. Mostre que a sequência é crescente e limitada.
Solução
De fato, considere a função
Derivando f, obtemos que
para todo x > 0.
Logo, f é uma função crescente para todo x > 0, logo f (n) < f (n + 1), para cada n ∈ N i.e.,
a n < a n+1 , para todo n ∈ N.
Assim, a n é uma sequência crescente.
Além disso, é fácil ver que x 2 + 2 < x 2 + 7 e portanto 0 < a n < 1 para todo n ∈ N, logo a n é
uma sequência limitada.
13. Suponha que para cada n ≥ 1. Mostre
que a sequência a n é decrescente e limitada inferiormente. Calcule o
seu limite.
Solução
Mostraremos que a n é uma sequência decrescente e limitada inferiormente.