Um Curso de Calculo - Vol

Recommendations

Info

y = y(t), com t = t(x), será solução da equação.Suponhamos que a função y = y(x) seja dada implicitamente pelaequação φ(x, y) = c, c constante. A derivada desta função obtém-sederivando os dois membros da equação em relação a x. TemosPela regra da cadeia,Comopois c é constante, resultaDesse modo, seentão, afunção y = y(x) dada implicitamente pela equação φ(x, y) = c, será soluçãoda equaçãoP(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.Pois bem, diremos que a equação acima é uma equação diferencialexata se existir uma função φ = φ(x, y) tal queserão dadas implicitamente pelas equações φ(x, y) = c.Neste caso, as suas soluçõesEquação diferencial exata
Sejam P(x, y) e Q(x, y) contínuas no aberto Ω. A equação diferencialP(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0será exata se existir φ = φ(x, y), (x, y) ∈ Ω, tal queNeste caso, as funções y = y(x) ou x = x(y) dadas implicitamente pelas equaçõessão soluções da equação dada.φ(x, y) = c, c constante,Exemplo 1A equação x dx + y dy = 0 é exata, pois, paratemosSegue que as funções y = y(x) ou x = x(y) dadas implicitamente pelasequaçõessão soluções da equação dada.Suponhamos quex 2 + y 2 = c, c constante,
Page 5 and 6:
■ Os autores deste livro e a edit
Page 7 and 8:
Aos meus filhosMaristela e Hamilton
Page 9 and 10:
Agradecimentos especiaisPara esta n
Page 11 and 12:
O que há de novo nesta 6 a ediçã
Page 13 and 14:
■ Videoaulas com solução de exe
Page 15 and 16:
■ Exercícios
Page 19 and 20:
Sumário geralVolume 11 Números Re
Page 21 and 22:
Apêndice AApêndice BFunções de
Page 23 and 24:
Sumário1 Sequências Numéricas1.1
Page 25 and 26:
10.5 Equação de Bernoulli10.6 Equ
Page 27 and 28:
Teorema de Existência e Unicidade
Page 29 and 30:
Exemplo 2Seja a sequência de termo
Page 31 and 32:
Exemplo 5CalculeSoluçãoExemplo 6(
Page 33 and 34:
Exemplo 8Considere uma sequência d
Page 35 and 36:
(Observe que, para )Assim,Portanto,
Page 37:
Exercícios 1.11. Determine o termo
Page 41 and 42:
Sejaéconvergente ou divergente? Ju
Page 43 and 44:
1.2 Sequências Crescentes e Sequê
Page 45 and 46:
n > n 0 ⇒ a - ε < a n .Mas, para
Page 47 and 48:
Como a sequênciaé crescente eresu
Page 49 and 50:
1. É convergente ou divergente? Ju
Page 51 and 52:
8. A sequência de termo geralé co
Page 53 and 54:
divergente.O símbolofoi usado para
Page 55 and 56:
SoluçãoComoDaíLogo, a série dad
Page 57 and 58:
No próximo exemplo, consideramos u
Page 59 and 60:
série, com erro inferior aExemplo
Page 61 and 62:
a) É o exemplo 3 com α = 2.b) Pel
Page 63 and 64:
Soluçãoa) Este problema será res
Page 65 and 66:
Pelo exemplo anterior,Ainda pelo ex
Page 67 and 68:
b) TemosComoresulta que o erro que
Page 70 and 71:
6. Supondo 0 < α < 1, mostre que7.
Page 72 and 73:
12. Determine nde modo que seja um
Page 74 and 75:
(Interprete geometricamente α m .)
Page 76 and 77:
22. Considere a função Seja E >1
Page 78 and 79:
s 2n ≤ s 2n - 2 .Isto decorre do
Page 80 and 81:
é decrescente epelo teorema acima,
Page 82 and 83:
2.3 Uma Condição Necessária para
Page 84 and 85:
A sequênciaé crescente edivergent
Page 86 and 87:
3.1Critério da IntegralCritério d
Page 88 and 89:
SoluçãoExemplo 2Seja α > 0, com
Page 90 and 91:
2. Suponha que a função f : [0, +
Page 92 and 93:
DemonstraçãoComo, para todo k ≥
Page 94 and 95:
Exemplo 2A sérieé convergente ou
Page 96 and 97:
Do mesmo modo, prova-se que seentã
Page 98 and 99:
SoluçãoTemos:Tomando-seexiste um
Page 100 and 101:
oupara todo k ≥ p. A convergênci
Page 102 and 103:
EntãoDemonstraçãoa) De e real, s
Page 104 and 105:
Pelo critério do limite, a série
Page 106:
Pelo critério do limite, conclui-s
Page 109 and 110:
(Sugestão: Para mostrar a converg
Page 111 and 112:
positivos. Suponhamos que exista um
Page 113 and 114:
Pelo critério de comparação de r
Page 115 and 116:
Soluçãoa) Fica para o leitor.b) I
Page 117 and 118:
então a série é convergente.Solu
Page 119 and 120:
Exemplo 2Mostre que a sérieé dive
Page 121 and 122:
Segue quePelo critério da razão,
Page 123 and 124:
DemonstraçãoVeja final da seção
Page 125 and 126:
Exercícios 3.41. É convergente ou
Page 127 and 128:
3.5Critério de Raabe
Page 129:
Pelo critério de Raabe, a série
Page 132 and 133:
Critério de De Morgan. Seja a sér
Page 134 and 135:
(Confira!) Por outro lado, lembrand
Page 137 and 138:
4.1 Série Absolutamente Convergent
Page 139 and 140:
Para todo natural k,é também conv
Page 141 and 142:
Comoresultapois,Seguedo critério d
Page 143 and 144:
divergente para |x| > 1. Para |x| =
Page 145 and 146:
2. Determine o domínio da função
Page 147 and 148:
DemonstraçãoPara todo n ≥ 0,
Page 149 and 150:
b) Mostre que existe uma reordenaç
Page 151 and 152:
5.1Sequências de CauchyDizemos que
Page 153 and 154:
l 0 = inf {a 0 , a 1 , a 2 , ...}l
Page 155 and 156:
tendo em vistaque, para todo ε ≥
Page 157 and 158:
1. Dizemos que uma função T: R
Page 159 and 160:
para todo ε > 0 dado, existir um n
Page 161 and 162:
Exemplo 2Prove que a sérieé conve
Page 163 and 164:
conjugado do denominador e fazendo
Page 165 and 166:
e, portanto,Pelo lema de Abel (exem
Page 167 and 168:
5. Olhando para a identidade de Abe
Page 169 and 170:
SoluçãoPrecisamos mostrar que, pa
Page 171 and 172:
SoluçãoO domínio de f é o conju
Page 173 and 174:
b) Para cada x ∈ [0, 1], (por qu
Page 175 and 176:
depender de ε e de x) tal queMostr
Page 177 and 178:
converge uniformemente a f emSoluç
Page 179 and 180:
Para todo n ≥ 1, existe x ∈ ]-1
Page 181 and 182:
Se a convergência fosse uniforme,
Page 183 and 184:
b) A sequência f n , n ≥ 1, conv
Page 185 and 186:
Observe que cada f n é contínua e
Page 187 and 188:
Teorema 3. Seja f n uma sequência
Page 189 and 190:
Critério de Cauchy. Uma sequência
Page 191 and 192:
Da hipótese de cada f n ser contí
Page 193 and 194:
7.1Série de FunçõesUma série de
Page 195 and 196:
Observe que7.3 O Critério M de Wei
Page 197 and 198:
Soluçãoa) Para todo x e para todo
Page 199 and 200:
Seção 6.3,DesegueMas,Logo,Observa
Page 201 and 202:
6. Sejam a k , k ≥ 0, e b k , k
Page 203 and 204:
b) Prove que a sérieé uniformemen
Page 205 and 206:
Como a convergência é uniforme em
Page 207:
Para todo x real e para todo k ≥
Page 210 and 211:
Não É Derivável em Nenhum Ponto
Page 212 and 213:
é uniformemente convergente em R e
Page 214 and 215:
daíDo que vimos acima resultaou se
Page 216 and 217:
8.1Série de PotênciasSeja a n n
Page 218 and 219:
a série alternadaque já sabemos q
Page 220 and 221:
fosse convergente, pelo teorema da
Page 222 and 223:
ou seja, convergirá, para todo x,
Page 224 and 225:
Determinemos seu raio de convergên
Page 226 and 227:
2. Seja α um real dado, com α > 0
Page 228 and 229:
DemonstraçãoDemonstraçãoFica a
Page 230 and 231:
Exemplo 1Seja a série de potência
Page 232 and 233:
Prove que, para todo n, a n = 0.Sol
Page 234 and 235:
Tendo em vista que, a 0 = 1,Assim,F
Page 236 and 237:
Comoresultaou seja,Exercícios 8.3
Page 238 and 239:
3. Avalie ln 2 com erro inferior, e
Page 240 and 241:
desenvolvível em série de potênc
Page 242 and 243:
Conclua que, para todo x ∈ [0, 1]
Page 244 and 245:
Proceda, então, como no Exercício
Page 246 and 247:
9.1Série de Fourier de uma Funçã
Page 248 and 249:
Seja, agora, k ≥ 1 um natural fix
Page 250 and 251:
edenominam-se coeficientes de Fouri
Page 252 and 253:
e, portanto,Como x 2 sen nx é uma
Page 254 and 255:
ou seja,Portanto, a série de Fouri
Page 256 and 257:
Exercícios 9.11. Determine a séri
Page 258 and 259:
Vimos no Exemplo 5 da seção anter
Page 260 and 261:
eTemosIntegrando por partes, vemem
Page 262 and 263:
Weierstrass.■Exemplo 2Mostre que
Page 264 and 265:
Pela hipótese, a série converge u
Page 266 and 267:
Fazendo x = 0 em, obtemose, portant
Page 268 and 269:
Exemplo 3Determine uma série de Fo
Page 270 and 271:
resolve o problema. De fato, g é c
Page 272 and 273:
fazer mais alguns comentários sobr
Page 274 and 275:
sendo a convergência uniforme no c
Page 276 and 277:
9. Seja F : R → R dada porem que
Page 278 and 279:
sendo a convergência uniforme em R
Page 280 and 281:
com n inteiro. Esta afirmação dec
Page 282 and 283:
Segue que F : R → R é a função
Page 284 and 285:
10.1Equação Diferencial de 1a Ord
Page 286 and 287:
O coeficiente angular da reta tange
Page 288 and 289:
variáveis separáveis.Exemplo 3Ver
Page 290 and 291: Exemplo 2A equação não admite so
Page 292 and 293: 10.3 Equações de Variáveis Separ
Page 294 and 295: Exemplo 1Resolva a equaçãoSoluç
Page 296 and 297: a) A solução constante y(x) = 0 s
Page 298 and 299: Assim, a função procurada é solu
Page 300 and 301: tanque é regida pela equaçãoTemo
Page 302 and 303: Segunda lei de Newtonem que m é a
Page 305 and 306: 2. Determine y = y(x) que satisfaç
Page 307 and 308: a A seja sempre 2.10.4Equações Li
Page 309 and 310: em que as integrais indicam primiti
Page 311 and 312: seguinte modo. A solução da equa
Page 313 and 314: repetindo este procedimento, ao fin
Page 315 and 316: 2. Suponha E, R e C constantes não
Page 317 and 318: 8. Uma partícula desloca-se sobre
Page 319 and 320: Resolva a equaçãoSoluçãoTrata-s
Page 321 and 322: da população é regida pela equa
Page 323 and 324: resultaque é uma equação de vari
Page 325 and 326: 2. Considere a equação Verifique
Page 327 and 328: Por outro lado, pela regra da cadei
Page 329 and 330: partícula é puxada novamente para
Page 331 and 332: Integrando, obtemosPara que as cond
Page 333 and 334: se os dois membros da equaçãoTemo
Page 335 and 336: b) Para v > -1, temos v + 1 > 0. As
Page 337 and 338: c) Suponhamos Então, a relaçãoen
Page 339: forma, o movimento do corpo é regi
Page 343 and 344: é necessária e suficiente para a
Page 345 and 346: Tendo em vista o exemplo anterior,
Page 347 and 348: que satisfaz a condição inicial y
Page 349 and 350: Observação. Às vezes é preferí
Page 351 and 352: e, deste modo, se γ(t) = (x, y) fo
Page 353 and 354: 4. Uma partícula desloca-se sobre
Page 355 and 356: para alguma função h de uma vari
Page 357 and 358: TemosA equação não é exata, poi
Page 359 and 360: SoluçãoSubstituindo em, vemSeent
Page 361 and 362: com t = xy. TemosSegue do exemplo a
Page 363 and 364: 5. Estabeleça uma fórmula para as
Page 365 and 366: em que h(t) é função de uma vari
Page 367 and 368: Suponha que no instante t = 0 a par
Page 369 and 370: Procedendo como no exemplo anterior
Page 371 and 372: restrição t ∈ pode ser eliminad
Page 373 and 374: que satisfaça as condições x(0)
Page 375 and 376: I,logo, existe uma constante c tal
Page 377 and 378: eDaí e pelo fato de -, resultaLogo
Page 379 and 380: Como t(θ 0 ) = t 0 e t(θ 1 ) = t
Page 381 and 382: x 2 - y 2 = c,que é uma família d
Page 383 and 384: A partícula descreve o movimento s
Page 385 and 386: Substituindo na 1 a equação do si
Page 387 and 388: é solução de .Exemplo 12Consider
Page 389 and 390: ou seja,Tendo em conta e , resultal
Page 391 and 392:
e, portanto,ln ρ - ln(1 - cos θ)
Page 393 and 394:
2. Determine uma função y = f(x)
Page 395 and 396:
5. Um objeto aquecido a 80 °C é c
Page 397 and 398:
f(x), 0 ≤ x ≤ t, seja igual a 2
Page 399 and 400:
transforma a equaçãonuma de vari
Page 401 and 402:
Desenhe a trajetória descrita pela
Page 403 and 404:
definem implicitamente soluções y
Page 405 and 406:
Como f é contínua em I, e at f(t)
Page 407 and 408:
A solução que satisfaz a condiç
Page 409 and 410:
1. Determine a solução geral.2. U
Page 411 and 412:
(II) Se λ 1 = λ 2 , a solução g
Page 413 and 414:
Determine a solução geral.Soluç
Page 415 and 416:
resultaou seja,Trata-se, então, de
Page 417 and 418:
Exemplo 7Uma partícula de massa m
Page 419 and 420:
λ = -γ ± ω 1 i,em que . A solu
Page 421 and 422:
ou seja,ẍ + 4ẋ + 5x = 0.A solu
Page 423 and 424:
ou seja,x = e -t [A 1 e it + B 1 e
Page 425 and 426:
5. Uma partícula de massa m = 1 de
Page 427 and 428:
complexa α + iβ, admitirá, tamb
Page 429 and 430:
Exemplo 3Determine a solução gera
Page 431 and 432:
evidentemente, se λ 1 = λ 2 , ent
Page 433 and 434:
Resolvendo este sistema, obtemosAss
Page 435 and 436:
Como θ ∈ [0, 2π[, resultaAs ra
Page 437 and 438:
x = A 1 e it + B 1 te it + C 1 e -i
Page 439 and 440:
a posição da partícula no instan
Page 441 and 442:
Por outro lado, se x = x(t), t ∈
Page 443 and 444:
Logo,Deste modo,é uma solução pa
Page 445 and 446:
Observação. Consideremos a equaç
Page 447 and 448:
Exemplo 4Determine uma solução pa
Page 449 and 450:
em que P(t) é um polinômio de mes
Page 451 and 452:
simples desta equação, segue do i
Page 453 and 454:
x h = Ae 2t + Bte 2t .(Verifique.)
Page 455 and 456:
ẍ + x = e t cost.SoluçãoAs raí
Page 457 and 458:
+ N sen β 1 t), em que α, α 1 ,
Page 459 and 460:
e, portanto, . Logo,é uma soluçã
Page 461 and 462:
Exemplo 13(Oscilação forçada com
Page 463 and 464:
resultameA solução particular 10
Page 465 and 466:
λ + 2 = 0.Logo, a solução da hom
Page 467 and 468:
solução particular de ẍ + bẋ
Page 469 and 470:
9. Determine a solução geral11.5
Page 471 and 472:
seja uma solução particular de. T
Page 473 and 474:
Temosou seja,∫sent tgt dt = ln(se
Page 475 and 476:
Integrando por partes, vemPara s >
Page 478 and 479:
Seja f uma função definida em [0,
Page 480 and 481:
Demonstraçãoa) Suponhamos que f s
Page 482 and 483:
Exemplo 4Determine uma solução pa
Page 484 and 485:
A expressãonão aparece na tabela,
Page 486 and 487:
Para demonstrar o teorema de Lerch
Page 488 and 489:
G(t) = 0 em [0, 1].Vamos, agora, de
Page 490 and 491:
Logo,h(t) = 0 em [0, +∞[.■Para
Page 492 and 493:
Exemplo 1O par de funções x = cos
Page 494 and 495:
Agora, multiplicando a 2 a equaçã
Page 496 and 497:
Se λ 1 ≠ λ 2 e reais, a soluç
Page 498 and 499:
O importante teorema que destacarem
Page 500 and 501:
é a solução geral de .Sendosolu
Page 502 and 503:
e, portanto,Assim, W = W (t) é uma
Page 504 and 505:
Com estas notações, o sistemase e
Page 506 and 507:
Soluçãoa) Os autovalores são as
Page 508 and 509:
sistema admite uma solução do tip
Page 510 and 511:
eExemplo 3Considere o sistemae seja
Page 512 and 513:
e u, υ e w são vetores-colunas co
Page 514 and 515:
A (αu + βυ) = A0e, portanto,αAu
Page 516 and 517:
diferenciais lineares de 1 a ordem
Page 518 and 519:
De λ 1 ≠ λ 3 e λ 2 ≠ λ 3 ,
Page 520 and 521:
Estamos, agora, em condições de e
Page 522 and 523:
SoluçãoeA solução geral éExemp
Page 524 and 525:
O autovalor λ 2 = 3 fornece a solu
Page 526 and 527:
Assim, o autovalor λ 1 = −1 forn
Page 528 and 529:
λ = 1 é o único autovalor. Deter
Page 530 and 531:
(i é a unidade imaginária) seja s
Page 532 and 533:
Pelo exemplo anterior,são, também
Page 534 and 535:
3. Uma partícula é abandonada na
Page 536 and 537:
b) Se λ 1 = α + iβ e λ 2 = α
Page 538 and 539:
S 2 (t) nos tanques estão variando
Page 540 and 541:
Suponha que T 1 (0) = 20 e T 2 (0)
Page 542 and 543:
diferente de zero, em t = 0, (W(0)
Page 544 and 545:
em que λ 1 = a 11 , λ 2 = a 22 e
Page 546 and 547:
O 4 o caso ocorrerá quando o siste
Page 548 and 549:
e isto só será possível seDaí,
Page 550 and 551:
(A − λ 1 I) 2 υ = 0.O υ procur
Page 552 and 553:
Exemplo 1ResolvaSoluçãoA soluçã
Page 554 and 555:
Daí, n = −2p e m = 0. Os autovet
Page 556 and 557:
Só para conferir, verifique que o
Page 558 and 559:
ResolvaSoluçãoOs autovalores são
Page 560 and 561:
Exemplo 6ResolvaSoluçãoOs autoval
Page 562 and 563:
Segue que, quaisquer que sejam os r
Page 564 and 565:
Este é equivalente aSegue que o no
Page 566 and 567:
Tomando-se p = 0, resultam m = 3 e
Page 568 and 569:
Como λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = (
Page 571 and 572:
2. O movimento de uma partícula no
Page 573 and 574:
solução para A e B. Sejam x (t),
Page 575 and 576:
é a solução geral da homogênea
Page 577 and 578:
em que c 1 (t) e c 2 (t) são dadas
Page 579 and 580:
TemosSegue queeDaí,Portanto,Exempl
Page 581 and 582:
eAssim,é uma solução particular.
Page 583 and 584:
Para finalizar a seção, vamos pro
Page 585 and 586:
em queGeneralize.Exemplo 4Considere
Page 587 and 588:
é uma solução particular de 11 e
Page 589 and 590:
13.1 Equações Diferenciais Linear
Page 591 and 592:
Resolva a equaçãoSoluçãoFaçamo
Page 593 and 594:
f(x 0 ) = 0 e f ′ (x 0 ) = 0para
Page 595 and 596:
y″ - (x 2 + 1) y = 0.Seja y = f (
Page 597 and 598:
pode ser solução de alguma equaç
Page 599 and 600:
Como f e g são soluções de , par
Page 601 and 602:
em que p e q são supostas contínu
Page 603 and 604:
0 para algum x 0 ∈ I. Prove que f
Page 605 and 606:
y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0com
Page 607 and 608:
independentes e que existam x 0 e x
Page 609 and 610:
g como soluções.b) Ache a soluç
Page 611 and 612:
Substituindo na equação e simplif
Page 613 and 614:
da Seção 8.3.)7. Determine a solu
Page 615 and 616:
TemosAqui, . A equação é equival
Page 617 and 618:
Segue que(Confira.) Assim, tomando-
Page 619 and 620:
É o que faremos a seguir. Calculem
Page 621 and 622:
converge para todo x. Verifique.)O
Page 623 and 624:
Substituindo eme simplificando, obt
Page 625 and 626:
em que p (x), q (x) e r (x) são su
Page 627 and 628:
SoluçãoPara podermos utilizar a f
Page 629 and 630:
2. Considere a equação xy″ + xy
Page 631 and 632:
Tal solução K p (x) denomina-se f
Page 633 and 634:
15. Resolva o Exercício 10 com aux
Page 635 and 636:
14.1 Teoremas de Existência e Unic
Page 637 and 638:
Assim,são contínuas em Ω = R 2 .
Page 639 and 640:
(Lembre-se de que o domínio de uma
Page 641 and 642:
eTemos as soluçõese
Page 643 and 644:
Exemplo 2Mostre que a equaçãoadmi
Page 645 and 646:
não inclui todas as soluções de
Page 647 and 648:
em volta de x 0 = 0.SoluçãoO poli
Page 649 and 650:
para todo x ∈ ]-r, r[.SoluçãoCo
Page 651 and 652:
Exemplo 8Seja y = φ(x), x ∈ ]-r,
Page 653 and 654:
tem o seguinte aspecto.Exemplo 9Res
Page 655 and 656:
e, portanto,ou seja,As funções co
Page 657 and 658:
são soluções de y″ = 2yy′ ta
Page 659 and 660:
Avalie φ(x) para x = 0,01. Estime
Page 661 and 662:
a) Determine a sequência de Picard
Page 663 and 664:
Separam-se as variáveis e integra-
Page 665 and 666:
Se k = 0, a expressão anterior for
Page 667 and 668:
15.3Equação Generalizada de Berno
Page 669 and 670:
Exemplo 3ResolvaSoluçãoA equaçã
Page 671 and 672:
satisfaz a condição inicial y(1)
Page 673 and 674:
SoluçãoPor inspeção!! verifica-
Page 675 and 676:
arctg u = x + ce, portanto,Assim,y
Page 677 and 678:
Separando as variáveis, obtemosDa
Page 679 and 680:
e, portanto,Substituindo em, vemque
Page 681 and 682:
ou seja,Separando as variáveis e i
Page 683 and 684:
Como ẋ(0) = e x(0) = 0, resulta c
Page 685 and 686:
1 a ordemxu ' + u = 4.Achada u = u(
Page 687 and 688:
Observação. Se em lugar detivéss
Page 689 and 690:
A importância deste resultado resi
Page 691 and 692:
Exemplo 2Suponha que uma partícula
Page 693 and 694:
Tendo em vista as condições inici
Page 695 and 696:
daíe, portanto,Substituindo em e s
Page 697 and 698:
15.15 Redução de uma Equação Di
Page 699 and 700:
A.1PreliminaresLema 1. Seja a equa
Page 701 and 702:
Da continuidade deem Ω, segue a co
Page 703 and 704:
Como, para todo s ∈ [x 0 - r, x 0
Page 705 and 706:
Deste modo, a sequência será unif
Page 707 and 708:
para todo natural n ≥ 1 e para to
Page 709 and 710:
para todo x ∈ [x 0 - r, x 0 + r],
Page 711 and 712:
para todo x ∈ [x 0 - d, x 0 + d].
Page 713 and 714:
Desse modo, A é limitado superiorm
Page 715 and 716:
sen nx sen mx e cos nx cos mxsão p
Page 717 and 718:
Observe queesão equivalentes aPara
Page 719 and 720:
eEntão, para todo natural n,em que
Page 721 and 722:
é a série de Fourier da funçãoN
Page 723 and 724:
para todo x ∈ [a, π] e quaisquer
Page 725 and 726:
A função g é contínua, de class
Page 727 and 728:
se f não for contínua em x.Além
Page 729 and 730:
faremos, a seguir, é eliminar esta
Page 731 and 732:
em x e parase f não for contínua
Page 733 and 734:
Vamos, por enquanto, admitir que a
Page 735:
é uma solução particular para a
Page 738 and 739:
DemonstraçãoDa hipótese, segue q
Page 740 and 741:
todo natural k. Entretanto, para o
Page 742 and 743:
CAPÍTULO 1Exercícios 1.1
Page 745:
Exercícios 1.2CAPÍTULO 2Exercíci
Page 751 and 752:
Page 753 and 754:
h) Convergentei) Convergentej) Dive
Page 755 and 756:
Exercícios 4.3Somando −ao 1 o me
Page 758 and 759:
Page 760:
CAPÍTULO 8Exercícios 8.2é absolu
Page 763:
CAPÍTULO 10Exercícios 10.2Exercí
Page 768:
9. Seja y = f(x), x > 0, a função
Page 771 and 772:
Exercícios 10.7
Page 773 and 774:
Exercícios 10.9
Page 777 and 778:
Page 781:
Exercícios 11.3
Page 786 and 787:
Exercícios 11.5
Page 788:
3. O movimento é regido pelo siste
Page 791 and 792:
Exercícios 12.5
Page 793:
10. Sugestão: Observe que o sinal
Page 800 and 801:
Observação. Seja y = y(x) a solu
Page 802 and 803:
com aplicações. São Paulo: Harbr
Page 804:
30. RUDIN, W. Principles of mathema
Page 810 and 811:
SumárioVideoaulas exclusivasCapít
Page 812 and 813:
Capítulo2Capítulo 3Capítulo 4Cap
Page 814 and 815:
Volume 4Capítulo Sequências Numé
Page 816 and 817:
Pela arbitrariedade de ε > 0, segu
Page 818 and 819:
SoluçãoConsidere a funçãoObserv
Page 820 and 821:
Calcule o limite da sequência, qua
Page 822 and 823:
SoluçãoDado ε > 0. Se ε < 1 ent
Page 824 and 825:
Claramente, a n+1 < a n para cada n
Page 826 and 827:
Utilize essa desigualdade para most
Page 828 and 829:
SoluçãoPelo Exercício 16, temos
Page 830 and 831:
Assim,e, portanto,2. Calcule a soma
Page 832 and 833:
Desta forma, como o segundo membro
Page 834 and 835:
SoluçãoReescreva a série comoObs
Page 836 and 837:
SoluçãoConsidere a funçãoDeriva
Page 838 and 839:
12. Escreva a fração decimal 0,35
Page 840 and 841:
Agora, como os coeficientes de P n
Page 842 and 843:
16. Mostre que é divergente.Soluç
Page 844 and 845:
e portanto a integralconverge.Clara
Page 847 and 848:
5. Estude a convergência da série
Page 849 and 850:
8. Mostrar que a sérieconverge par
Page 851 and 852:
Logo, pelo critério do termo geral
Page 853 and 854:
Pelo critério da raiz, se 1 < l <
Page 855 and 856:
Desta forma,Segue do critério da r
Page 857 and 858:
diverge, pois a sériediverge.Porta
Page 859 and 860:
converge.4. Mostre que a sérieconv
Page 861 and 862:
Neste caso, L = x/e x .Agora, se x
Page 863 and 864:
é uma série geométrica, e, porta
Page 865 and 866:
10. Sejaconverge?Solução11. Seja
Page 867 and 868:
Observe que as sériessão séries
Page 869 and 870:
converge, finalizando o exercício.
Page 871 and 872:
ConsidereDefina:SoluçãoSesão abs
Page 873 and 874:
3. Utilize somente a definição pa
Page 875 and 876:
SoluçãoT não precisa ser uma con
Page 877 and 878:
Logo, dado p ∈ N arbitrário:Assi
Page 879 and 880:
Agora, se n 1 > n 2 , entãoComo f
Page 881 and 882:
Agora, a n = π/2 arctg(n) é uma s
Page 883 and 884:
14. Seja C 0 = {(a n ); (a n ) é u
Page 885 and 886:
é convergente.Como a sequência (b
Page 887 and 888:
Se | x | > 1, então x 2n → ∞,
Page 889 and 890:
Absurdo! Logo, f n ′ não converg
Page 891 and 892:
converge uniformemente em R.Soluç
Page 893 and 894:
10. Considere a sequênciaPodemosca
Page 895 and 896:
13. Considere a sequência de funç
Page 897 and 898:
f(-π/2, π/2) = 1.A convergência
Page 899 and 900:
Utilizaremos o critério da razão:
Page 901 and 902:
Considere as somas parciais:Como a
Page 903 and 904:
converge uniformemente em R.Como ca
Page 905 and 906:
é uma função contínua em R.7. S
Page 907 and 908:
Dica: Se f :[a, b] → R é uma fun
Page 909 and 910:
para todo x ∈ R.Em particular, se
Page 911 and 912:
Desta forma,para todo x ∈ I.Comoc
Page 913 and 914:
13. SejaSoluçãoSeja I = [-1, 1],
Page 915 and 916:
converge uniformemente em R.Como ca
Page 917 and 918:
converge uniformemente em B? Prove
Page 919 and 920:
Capítulo Série de Potências81. M
Page 921 and 922:
3. Calcule o raio de convergência
Page 923 and 924:
5. Calcule o domínio Dde em que a
Page 925 and 926:
Para cada x ∈ (-r, r), temos ques
Page 927 and 928:
Agora, como | x | < r , temos quee
Page 929 and 930:
Contudopara todo | x | < 1. Observe
Page 931 and 932:
Agora, se n é ímpar, entãoLogo,
Page 933 and 934:
No nosso caso, a n = (-1) n , e por
Page 935 and 936:
16. Mostre quepara todo x ∈ R.Dic
Page 937 and 938:
Logo, ambas as séries são converg
Page 939 and 940:
Assim, de (1), temos:De 2, temos:
Page 941 and 942:
para todo n ≥ 2.Deste modo, a sé
Page 943 and 944:
4. Existem senos na série de Fouri
Page 945 and 946:
Deste modo,para todo n ∈ N, já q
Page 947 and 948:
Pelo Exercício 6, como g é uma fu
Page 949 and 950:
SoluçãoPelo teorema da Seção 9.
Page 951 and 952:
e como cos(nπ)(-1) n = (-1) n (-1)
Page 953 and 954:
12. Seja f : R → R a função per
Page 955 and 956:
13. Esboce o gráfico da função F
Page 957 and 958:
Portanto, a série de Fourier F de
Page 959 and 960:
SoluçãoCalculemos os coeficientes
Page 961 and 962:
SoluçãoConsidere a função peri
Page 963 and 964:
Agora, comoconverge uniformemente p
Page 965 and 966:
em que K é uma constante.Como y(0)
Page 967 and 968:
Integrando ambos os lados, temos qu
Page 969 and 970:
3. Seja c > 0. A curva tractriz é
Page 971 and 972:
Agora, voltando à variável y, tem
Page 973 and 974:
5. Resolva a equação diferencialS
Page 975 and 976:
em que K ∈ R.Voltando para a vari
Page 977 and 978:
8. Sendo determine a relação entr
Page 979 and 980:
Voltando para a variável v, temos
Page 981 and 982:
SoluçãoA equação se escreve com
Page 983 and 984:
em que K é uma constante não nula
Page 985 and 986:
é uma função contínua, pois h
Page 987 and 988:
Portanto, toda soluçãodo sistema
Page 989 and 990:
satisfaz a equação de BernoulliSa
Page 991 and 992:
Capítulo11Equações Diferenciais
Page 993 and 994:
3. Determine, passo a passo, a solu
Page 995 and 996:
com A B ∈ R.Neste caso,deve-se te
Page 997 and 998:
b) A equação característica éλ
Page 999 and 1000:
Assim,Portanto,8. Uma partícula de
Page 1001 and 1002:
que tem raízesLogo a solução ger
Page 1003 and 1004:
formaDerivando em relação a t, ob
Page 1005 and 1006:
A solução da equação homogênea
Page 1007 and 1008:
14. Considere a equação diferenci
Page 1009 and 1010:
Portanto, a solução geral é16. U
Page 1011 and 1012:
exponencial. Assim, calculando a tr
Page 1013 and 1014:
Capítulo12Sistemas de Duas e Três
Page 1015 and 1016:
SoluçãoA equação característic
Page 1017 and 1018:
SoluçãoNa forma matricial o siste
Page 1019 and 1020:
Logo, são os autovalores de A.Auto
Page 1021 and 1022:
Logo, ±αi são os autovalores de
Page 1023 and 1024:
são periódicas e calcule os perí
Page 1025 and 1026:
SoluçãoA matriz associada a esse
Page 1027 and 1028:
em queé um vetor de R 3 . Desta fo
Page 1029 and 1030:
em queé um vetor de R 2 . Desta fo
Page 1031 and 1032:
Finalmente, a solução geral da eq
Page 1033 and 1034:
13. Sejam f, g, h : R → R funçõ
Page 1035 and 1036:
Portanto, a solução geral do sist
Page 1037 and 1038:
15. Seja A uma matriz real de ordem
Page 1039 and 1040:
com 0 < x < π / 2.SoluçãoComo co
Page 1041 and 1042:
que admita soluçõesSoluçãoO pri
Page 1043 and 1044:
logoDaí, como x 1 ≠ x 2 , segue
Page 1045 and 1046:
Portanto, a equação procurada éC
Page 1047 and 1048:
Segue que B = 0 e A = 1 (ou qualque
Page 1049 and 1050:
É direto verificar que, tomando a
Page 1051 and 1052:
com A, B ∈ R.14. Encontre a solu
Page 1053 and 1054:
com x > 0.SoluçãoSabe-se que a so
Page 1055 and 1056:
é uma equação de Euler com equa
Page 1057 and 1058:
existência e unicidade de soluçõ
Page 1059 and 1060:
Verifique que as hipóteses do teor
Page 1061 and 1062:
5. Considere a equaçãocom a , b,
Page 1063 and 1064:
7. Encontre a solução y = y (x) d
Page 1065 and 1066:
logoem que A ∈ R. Impondo a condi
Page 1067 and 1068:
Suponha que k ≠ 0 . Neste caso, a
Page 1069 and 1070:
Portanto,12. Determine a sequência
Page 1071 and 1072:
Repetindo o processo, obtém-se φ
Page 1073 and 1074:
Portanto,eRepetindo o processo, obt
Page 1075 and 1076:
eRepetindo o processo, obtém-separ
Page 1077 and 1078:
eRepetindo o processo, obtém-se φ
Page 1079 and 1080:
eRepetindo o processo, obtém-se
Page 1081 and 1082:
em que k ∈ R é uma constante.b)
Page 1083 and 1084:
A equação é equivalente aFaça f
Page 1085 and 1086:
FaçaEntão,Portanto, a equação d
Page 1087 and 1088:
SoluçãoPor inspeção, y 1 (t) =
Page 1089 and 1090:
em que c ∈ R é uma constante. Se
Page 1091 and 1092:
Esse último sistema pode ser resol
Page 1093 and 1094:
SoluçãoFaça u = xy, assim,Essa
Page 1095 and 1096:
em que c ∈ R é uma constante. Da
Page 1097 and 1098:
em que c , k. ∈ RImpondo as condi
Page 1099 and 1100:
Conjuntos 1 NuméricosConjunto 1.1
Page 1101 and 1102:
Portanto, temos que b 2 é par, log
Page 1103 and 1104:
(b + c) = a · b + a · cPolinômio
Page 1105 and 1106:
coeficiente a n - 1 . O resultado s
Page 1107 and 1108:
1) Quadrado da soma: (a + b) 2 = a
Page 1109 and 1110:
ax 2 + bx + c = 0,em que a, b, c s
Page 1111 and 1112:
• Se c ≤ 0 e a ≤ b, então ac
Page 1113 and 1114:
Logo, S 2 = {x ∈ R | x ≥ 1} é
Page 1115 and 1116:
positivo quando x > 1 e negativo qu
Page 1117 and 1118:
• Um elemento de B pode estar ass
Page 1119 and 1120:
Analisando a função temos que, D
show all

Um Curso de Calculo - Vol

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?