Um Curso de Calculo - Vol

Recommendations

Info

13.5 Redução de uma Equação Diferencial Linear de 2a Ordem, com CoeficientesVariáveis, a uma Linear de 1 a Ordem13.6 Equação de Euler de 2a Ordem13.7 Equação Diferencial Linear de 2a Ordem e Não Homogênea. Método da Variação dasConstantes14 Teoremas de Existência e Unicidade de Soluções para Equações Diferenciaisde 1 a e 2 a Ordens14.1 Teoremas de Existência e Unicidade de Soluções para Equações Diferenciais de 1a e 2aOrdens15 Tipos Especiais de Equações15.1 Equação Diferencial de 1a Ordem e de Variáveis Separáveis15.2 Equação Diferencial Linear de 1a Ordem15.3 Equação Generalizada de Bernoulli15.4 Equação de Riccati15.5 Equação do Tipo y′ = f(ax + by)15.6 Equação do Tipo y′ = f(ax + by + c)15.7 Equação do Tipo15.8Equação do Tipo15.9 Equação do Tipo xy = yf(xy)15.10 Equação do Tipo ẍ = f(x) (ou y″ = f(y))15.11 Equação Diferencial de 2a Ordem do Tipo F(x, y′, y″) = 015.12 Equação Diferencial de 2a Ordem do Tipo y″ = f(y) y′15.13 Equação Diferencial de 2a Ordem do Tipo y″ = f(y, y′)15.14 Redução de uma Equação Linear de 2a Ordem do Tipo ÿ = g(t)y a uma Equação deRiccati15.15 Redução de uma Equação Diferencial Linear de 2a Ordem do Tipo ÿ + p(t) ẏ + q(t)y= 0 a uma da Forma ÿ = g(t)yApêndice A
Teorema de Existência e Unicidade para Equação Diferencial de 1 aOrdem do Tipo y = f(x, y)A.1 PreliminaresA.2 Teorema de ExistênciaA.3 Teorema de UnicidadeApêndiceBSobre Séries de FourierB.1 Demonstração do Lema da Seção 9.3B.2Estudo da SérieB.3 Demonstração do Teorema da Seção 9.4B.4 Utilização das Séries de Fourier na Determinação de Solução Particular deuma Equação Diferencial Linear de 2 a Ordem, com Coeficientes Constantes,Quando o 2 o Membro É uma Função PeriódicaApêndiceCO Incrível Critério de KummerC.1 Lema de KummerC.2 Critério de KummerRespostas, Sugestões ou SoluçõesBibliografia
Page 5 and 6: ■ Os autores deste livro e a edit
Page 7 and 8: Aos meus filhosMaristela e Hamilton
Page 9 and 10: Agradecimentos especiaisPara esta n
Page 11 and 12: O que há de novo nesta 6 a ediçã
Page 13 and 14: ■ Videoaulas com solução de exe
Page 15 and 16: ■ Exercícios
Page 19 and 20: Sumário geralVolume 11 Números Re
Page 21 and 22: Apêndice AApêndice BFunções de
Page 23 and 24: Sumário1 Sequências Numéricas1.1
Page 25: 10.5 Equação de Bernoulli10.6 Equ
Page 29 and 30: Exemplo 2Seja a sequência de termo
Page 31 and 32: Exemplo 5CalculeSoluçãoExemplo 6(
Page 33 and 34: Exemplo 8Considere uma sequência d
Page 35 and 36: (Observe que, para )Assim,Portanto,
Page 37: Exercícios 1.11. Determine o termo
Page 41 and 42: Sejaéconvergente ou divergente? Ju
Page 43 and 44: 1.2 Sequências Crescentes e Sequê
Page 45 and 46: n > n 0 ⇒ a - ε < a n .Mas, para
Page 47 and 48: Como a sequênciaé crescente eresu
Page 49 and 50: 1. É convergente ou divergente? Ju
Page 51 and 52: 8. A sequência de termo geralé co
Page 53 and 54: divergente.O símbolofoi usado para
Page 55 and 56: SoluçãoComoDaíLogo, a série dad
Page 57 and 58: No próximo exemplo, consideramos u
Page 59 and 60: série, com erro inferior aExemplo
Page 61 and 62: a) É o exemplo 3 com α = 2.b) Pel
Page 63 and 64: Soluçãoa) Este problema será res
Page 65 and 66: Pelo exemplo anterior,Ainda pelo ex
Page 67 and 68: b) TemosComoresulta que o erro que
Page 70 and 71: 6. Supondo 0 < α < 1, mostre que7.
Page 72 and 73: 12. Determine nde modo que seja um
Page 74 and 75: (Interprete geometricamente α m .)
Page 76 and 77:
22. Considere a função Seja E >1
Page 78 and 79:
s 2n ≤ s 2n - 2 .Isto decorre do
Page 80 and 81:
é decrescente epelo teorema acima,
Page 82 and 83:
2.3 Uma Condição Necessária para
Page 84 and 85:
A sequênciaé crescente edivergent
Page 86 and 87:
3.1Critério da IntegralCritério d
Page 88 and 89:
SoluçãoExemplo 2Seja α > 0, com
Page 90 and 91:
2. Suponha que a função f : [0, +
Page 92 and 93:
DemonstraçãoComo, para todo k ≥
Page 94 and 95:
Exemplo 2A sérieé convergente ou
Page 96 and 97:
Do mesmo modo, prova-se que seentã
Page 98 and 99:
SoluçãoTemos:Tomando-seexiste um
Page 100 and 101:
oupara todo k ≥ p. A convergênci
Page 102 and 103:
EntãoDemonstraçãoa) De e real, s
Page 104 and 105:
Pelo critério do limite, a série
Page 106:
Pelo critério do limite, conclui-s
Page 109 and 110:
(Sugestão: Para mostrar a converg
Page 111 and 112:
positivos. Suponhamos que exista um
Page 113 and 114:
Pelo critério de comparação de r
Page 115 and 116:
Soluçãoa) Fica para o leitor.b) I
Page 117 and 118:
então a série é convergente.Solu
Page 119 and 120:
Exemplo 2Mostre que a sérieé dive
Page 121 and 122:
Segue quePelo critério da razão,
Page 123 and 124:
DemonstraçãoVeja final da seção
Page 125 and 126:
Exercícios 3.41. É convergente ou
Page 127 and 128:
3.5Critério de Raabe
Page 129:
Pelo critério de Raabe, a série
Page 132 and 133:
Critério de De Morgan. Seja a sér
Page 134 and 135:
(Confira!) Por outro lado, lembrand
Page 137 and 138:
4.1 Série Absolutamente Convergent
Page 139 and 140:
Para todo natural k,é também conv
Page 141 and 142:
Comoresultapois,Seguedo critério d
Page 143 and 144:
divergente para |x| > 1. Para |x| =
Page 145 and 146:
2. Determine o domínio da função
Page 147 and 148:
DemonstraçãoPara todo n ≥ 0,
Page 149 and 150:
b) Mostre que existe uma reordenaç
Page 151 and 152:
5.1Sequências de CauchyDizemos que
Page 153 and 154:
l 0 = inf {a 0 , a 1 , a 2 , ...}l
Page 155 and 156:
tendo em vistaque, para todo ε ≥
Page 157 and 158:
1. Dizemos que uma função T: R
Page 159 and 160:
para todo ε > 0 dado, existir um n
Page 161 and 162:
Exemplo 2Prove que a sérieé conve
Page 163 and 164:
conjugado do denominador e fazendo
Page 165 and 166:
e, portanto,Pelo lema de Abel (exem
Page 167 and 168:
5. Olhando para a identidade de Abe
Page 169 and 170:
SoluçãoPrecisamos mostrar que, pa
Page 171 and 172:
SoluçãoO domínio de f é o conju
Page 173 and 174:
b) Para cada x ∈ [0, 1], (por qu
Page 175 and 176:
depender de ε e de x) tal queMostr
Page 177 and 178:
converge uniformemente a f emSoluç
Page 179 and 180:
Para todo n ≥ 1, existe x ∈ ]-1
Page 181 and 182:
Se a convergência fosse uniforme,
Page 183 and 184:
b) A sequência f n , n ≥ 1, conv
Page 185 and 186:
Observe que cada f n é contínua e
Page 187 and 188:
Teorema 3. Seja f n uma sequência
Page 189 and 190:
Critério de Cauchy. Uma sequência
Page 191 and 192:
Da hipótese de cada f n ser contí
Page 193 and 194:
7.1Série de FunçõesUma série de
Page 195 and 196:
Observe que7.3 O Critério M de Wei
Page 197 and 198:
Soluçãoa) Para todo x e para todo
Page 199 and 200:
Seção 6.3,DesegueMas,Logo,Observa
Page 201 and 202:
6. Sejam a k , k ≥ 0, e b k , k
Page 203 and 204:
b) Prove que a sérieé uniformemen
Page 205 and 206:
Como a convergência é uniforme em
Page 207:
Para todo x real e para todo k ≥
Page 210 and 211:
Não É Derivável em Nenhum Ponto
Page 212 and 213:
é uniformemente convergente em R e
Page 214 and 215:
daíDo que vimos acima resultaou se
Page 216 and 217:
8.1Série de PotênciasSeja a n n
Page 218 and 219:
a série alternadaque já sabemos q
Page 220 and 221:
fosse convergente, pelo teorema da
Page 222 and 223:
ou seja, convergirá, para todo x,
Page 224 and 225:
Determinemos seu raio de convergên
Page 226 and 227:
2. Seja α um real dado, com α > 0
Page 228 and 229:
DemonstraçãoDemonstraçãoFica a
Page 230 and 231:
Exemplo 1Seja a série de potência
Page 232 and 233:
Prove que, para todo n, a n = 0.Sol
Page 234 and 235:
Tendo em vista que, a 0 = 1,Assim,F
Page 236 and 237:
Comoresultaou seja,Exercícios 8.3
Page 238 and 239:
3. Avalie ln 2 com erro inferior, e
Page 240 and 241:
desenvolvível em série de potênc
Page 242 and 243:
Conclua que, para todo x ∈ [0, 1]
Page 244 and 245:
Proceda, então, como no Exercício
Page 246 and 247:
9.1Série de Fourier de uma Funçã
Page 248 and 249:
Seja, agora, k ≥ 1 um natural fix
Page 250 and 251:
edenominam-se coeficientes de Fouri
Page 252 and 253:
e, portanto,Como x 2 sen nx é uma
Page 254 and 255:
ou seja,Portanto, a série de Fouri
Page 256 and 257:
Exercícios 9.11. Determine a séri
Page 258 and 259:
Vimos no Exemplo 5 da seção anter
Page 260 and 261:
eTemosIntegrando por partes, vemem
Page 262 and 263:
Weierstrass.■Exemplo 2Mostre que
Page 264 and 265:
Pela hipótese, a série converge u
Page 266 and 267:
Fazendo x = 0 em, obtemose, portant
Page 268 and 269:
Exemplo 3Determine uma série de Fo
Page 270 and 271:
resolve o problema. De fato, g é c
Page 272 and 273:
fazer mais alguns comentários sobr
Page 274 and 275:
sendo a convergência uniforme no c
Page 276 and 277:
9. Seja F : R → R dada porem que
Page 278 and 279:
sendo a convergência uniforme em R
Page 280 and 281:
com n inteiro. Esta afirmação dec
Page 282 and 283:
Segue que F : R → R é a função
Page 284 and 285:
10.1Equação Diferencial de 1a Ord
Page 286 and 287:
O coeficiente angular da reta tange
Page 288 and 289:
variáveis separáveis.Exemplo 3Ver
Page 290 and 291:
Exemplo 2A equação não admite so
Page 292 and 293:
10.3 Equações de Variáveis Separ
Page 294 and 295:
Exemplo 1Resolva a equaçãoSoluç
Page 296 and 297:
a) A solução constante y(x) = 0 s
Page 298 and 299:
Assim, a função procurada é solu
Page 300 and 301:
tanque é regida pela equaçãoTemo
Page 302 and 303:
Segunda lei de Newtonem que m é a
Page 305 and 306:
2. Determine y = y(x) que satisfaç
Page 307 and 308:
a A seja sempre 2.10.4Equações Li
Page 309 and 310:
em que as integrais indicam primiti
Page 311 and 312:
seguinte modo. A solução da equa
Page 313 and 314:
repetindo este procedimento, ao fin
Page 315 and 316:
2. Suponha E, R e C constantes não
Page 317 and 318:
8. Uma partícula desloca-se sobre
Page 319 and 320:
Resolva a equaçãoSoluçãoTrata-s
Page 321 and 322:
da população é regida pela equa
Page 323 and 324:
resultaque é uma equação de vari
Page 325 and 326:
2. Considere a equação Verifique
Page 327 and 328:
Por outro lado, pela regra da cadei
Page 329 and 330:
partícula é puxada novamente para
Page 331 and 332:
Integrando, obtemosPara que as cond
Page 333 and 334:
se os dois membros da equaçãoTemo
Page 335 and 336:
b) Para v > -1, temos v + 1 > 0. As
Page 337 and 338:
c) Suponhamos Então, a relaçãoen
Page 339 and 340:
forma, o movimento do corpo é regi
Page 341 and 342:
Sejam P(x, y) e Q(x, y) contínuas
Page 343 and 344:
é necessária e suficiente para a
Page 345 and 346:
Tendo em vista o exemplo anterior,
Page 347 and 348:
que satisfaz a condição inicial y
Page 349 and 350:
Observação. Às vezes é preferí
Page 351 and 352:
e, deste modo, se γ(t) = (x, y) fo
Page 353 and 354:
4. Uma partícula desloca-se sobre
Page 355 and 356:
para alguma função h de uma vari
Page 357 and 358:
TemosA equação não é exata, poi
Page 359 and 360:
SoluçãoSubstituindo em, vemSeent
Page 361 and 362:
com t = xy. TemosSegue do exemplo a
Page 363 and 364:
5. Estabeleça uma fórmula para as
Page 365 and 366:
em que h(t) é função de uma vari
Page 367 and 368:
Suponha que no instante t = 0 a par
Page 369 and 370:
Procedendo como no exemplo anterior
Page 371 and 372:
restrição t ∈ pode ser eliminad
Page 373 and 374:
que satisfaça as condições x(0)
Page 375 and 376:
I,logo, existe uma constante c tal
Page 377 and 378:
eDaí e pelo fato de -, resultaLogo
Page 379 and 380:
Como t(θ 0 ) = t 0 e t(θ 1 ) = t
Page 381 and 382:
x 2 - y 2 = c,que é uma família d
Page 383 and 384:
A partícula descreve o movimento s
Page 385 and 386:
Substituindo na 1 a equação do si
Page 387 and 388:
é solução de .Exemplo 12Consider
Page 389 and 390:
ou seja,Tendo em conta e , resultal
Page 391 and 392:
e, portanto,ln ρ - ln(1 - cos θ)
Page 393 and 394:
2. Determine uma função y = f(x)
Page 395 and 396:
5. Um objeto aquecido a 80 °C é c
Page 397 and 398:
f(x), 0 ≤ x ≤ t, seja igual a 2
Page 399 and 400:
transforma a equaçãonuma de vari
Page 401 and 402:
Desenhe a trajetória descrita pela
Page 403 and 404:
definem implicitamente soluções y
Page 405 and 406:
Como f é contínua em I, e at f(t)
Page 407 and 408:
A solução que satisfaz a condiç
Page 409 and 410:
1. Determine a solução geral.2. U
Page 411 and 412:
(II) Se λ 1 = λ 2 , a solução g
Page 413 and 414:
Determine a solução geral.Soluç
Page 415 and 416:
resultaou seja,Trata-se, então, de
Page 417 and 418:
Exemplo 7Uma partícula de massa m
Page 419 and 420:
λ = -γ ± ω 1 i,em que . A solu
Page 421 and 422:
ou seja,ẍ + 4ẋ + 5x = 0.A solu
Page 423 and 424:
ou seja,x = e -t [A 1 e it + B 1 e
Page 425 and 426:
5. Uma partícula de massa m = 1 de
Page 427 and 428:
complexa α + iβ, admitirá, tamb
Page 429 and 430:
Exemplo 3Determine a solução gera
Page 431 and 432:
evidentemente, se λ 1 = λ 2 , ent
Page 433 and 434:
Resolvendo este sistema, obtemosAss
Page 435 and 436:
Como θ ∈ [0, 2π[, resultaAs ra
Page 437 and 438:
x = A 1 e it + B 1 te it + C 1 e -i
Page 439 and 440:
a posição da partícula no instan
Page 441 and 442:
Por outro lado, se x = x(t), t ∈
Page 443 and 444:
Logo,Deste modo,é uma solução pa
Page 445 and 446:
Observação. Consideremos a equaç
Page 447 and 448:
Exemplo 4Determine uma solução pa
Page 449 and 450:
em que P(t) é um polinômio de mes
Page 451 and 452:
simples desta equação, segue do i
Page 453 and 454:
x h = Ae 2t + Bte 2t .(Verifique.)
Page 455 and 456:
ẍ + x = e t cost.SoluçãoAs raí
Page 457 and 458:
+ N sen β 1 t), em que α, α 1 ,
Page 459 and 460:
e, portanto, . Logo,é uma soluçã
Page 461 and 462:
Exemplo 13(Oscilação forçada com
Page 463 and 464:
resultameA solução particular 10
Page 465 and 466:
λ + 2 = 0.Logo, a solução da hom
Page 467 and 468:
solução particular de ẍ + bẋ
Page 469 and 470:
9. Determine a solução geral11.5
Page 471 and 472:
seja uma solução particular de. T
Page 473 and 474:
Temosou seja,∫sent tgt dt = ln(se
Page 475 and 476:
Integrando por partes, vemPara s >
Page 478 and 479:
Seja f uma função definida em [0,
Page 480 and 481:
Demonstraçãoa) Suponhamos que f s
Page 482 and 483:
Exemplo 4Determine uma solução pa
Page 484 and 485:
A expressãonão aparece na tabela,
Page 486 and 487:
Para demonstrar o teorema de Lerch
Page 488 and 489:
G(t) = 0 em [0, 1].Vamos, agora, de
Page 490 and 491:
Logo,h(t) = 0 em [0, +∞[.■Para
Page 492 and 493:
Exemplo 1O par de funções x = cos
Page 494 and 495:
Agora, multiplicando a 2 a equaçã
Page 496 and 497:
Se λ 1 ≠ λ 2 e reais, a soluç
Page 498 and 499:
O importante teorema que destacarem
Page 500 and 501:
é a solução geral de .Sendosolu
Page 502 and 503:
e, portanto,Assim, W = W (t) é uma
Page 504 and 505:
Com estas notações, o sistemase e
Page 506 and 507:
Soluçãoa) Os autovalores são as
Page 508 and 509:
sistema admite uma solução do tip
Page 510 and 511:
eExemplo 3Considere o sistemae seja
Page 512 and 513:
e u, υ e w são vetores-colunas co
Page 514 and 515:
A (αu + βυ) = A0e, portanto,αAu
Page 516 and 517:
diferenciais lineares de 1 a ordem
Page 518 and 519:
De λ 1 ≠ λ 3 e λ 2 ≠ λ 3 ,
Page 520 and 521:
Estamos, agora, em condições de e
Page 522 and 523:
SoluçãoeA solução geral éExemp
Page 524 and 525:
O autovalor λ 2 = 3 fornece a solu
Page 526 and 527:
Assim, o autovalor λ 1 = −1 forn
Page 528 and 529:
λ = 1 é o único autovalor. Deter
Page 530 and 531:
(i é a unidade imaginária) seja s
Page 532 and 533:
Pelo exemplo anterior,são, também
Page 534 and 535:
3. Uma partícula é abandonada na
Page 536 and 537:
b) Se λ 1 = α + iβ e λ 2 = α
Page 538 and 539:
S 2 (t) nos tanques estão variando
Page 540 and 541:
Suponha que T 1 (0) = 20 e T 2 (0)
Page 542 and 543:
diferente de zero, em t = 0, (W(0)
Page 544 and 545:
em que λ 1 = a 11 , λ 2 = a 22 e
Page 546 and 547:
O 4 o caso ocorrerá quando o siste
Page 548 and 549:
e isto só será possível seDaí,
Page 550 and 551:
(A − λ 1 I) 2 υ = 0.O υ procur
Page 552 and 553:
Exemplo 1ResolvaSoluçãoA soluçã
Page 554 and 555:
Daí, n = −2p e m = 0. Os autovet
Page 556 and 557:
Só para conferir, verifique que o
Page 558 and 559:
ResolvaSoluçãoOs autovalores são
Page 560 and 561:
Exemplo 6ResolvaSoluçãoOs autoval
Page 562 and 563:
Segue que, quaisquer que sejam os r
Page 564 and 565:
Este é equivalente aSegue que o no
Page 566 and 567:
Tomando-se p = 0, resultam m = 3 e
Page 568 and 569:
Como λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = (
Page 571 and 572:
2. O movimento de uma partícula no
Page 573 and 574:
solução para A e B. Sejam x (t),
Page 575 and 576:
é a solução geral da homogênea
Page 577 and 578:
em que c 1 (t) e c 2 (t) são dadas
Page 579 and 580:
TemosSegue queeDaí,Portanto,Exempl
Page 581 and 582:
eAssim,é uma solução particular.
Page 583 and 584:
Para finalizar a seção, vamos pro
Page 585 and 586:
em queGeneralize.Exemplo 4Considere
Page 587 and 588:
é uma solução particular de 11 e
Page 589 and 590:
13.1 Equações Diferenciais Linear
Page 591 and 592:
Resolva a equaçãoSoluçãoFaçamo
Page 593 and 594:
f(x 0 ) = 0 e f ′ (x 0 ) = 0para
Page 595 and 596:
y″ - (x 2 + 1) y = 0.Seja y = f (
Page 597 and 598:
pode ser solução de alguma equaç
Page 599 and 600:
Como f e g são soluções de , par
Page 601 and 602:
em que p e q são supostas contínu
Page 603 and 604:
0 para algum x 0 ∈ I. Prove que f
Page 605 and 606:
y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0com
Page 607 and 608:
independentes e que existam x 0 e x
Page 609 and 610:
g como soluções.b) Ache a soluç
Page 611 and 612:
Substituindo na equação e simplif
Page 613 and 614:
da Seção 8.3.)7. Determine a solu
Page 615 and 616:
TemosAqui, . A equação é equival
Page 617 and 618:
Segue que(Confira.) Assim, tomando-
Page 619 and 620:
É o que faremos a seguir. Calculem
Page 621 and 622:
converge para todo x. Verifique.)O
Page 623 and 624:
Substituindo eme simplificando, obt
Page 625 and 626:
em que p (x), q (x) e r (x) são su
Page 627 and 628:
SoluçãoPara podermos utilizar a f
Page 629 and 630:
2. Considere a equação xy″ + xy
Page 631 and 632:
Tal solução K p (x) denomina-se f
Page 633 and 634:
15. Resolva o Exercício 10 com aux
Page 635 and 636:
14.1 Teoremas de Existência e Unic
Page 637 and 638:
Assim,são contínuas em Ω = R 2 .
Page 639 and 640:
(Lembre-se de que o domínio de uma
Page 641 and 642:
eTemos as soluçõese
Page 643 and 644:
Exemplo 2Mostre que a equaçãoadmi
Page 645 and 646:
não inclui todas as soluções de
Page 647 and 648:
em volta de x 0 = 0.SoluçãoO poli
Page 649 and 650:
para todo x ∈ ]-r, r[.SoluçãoCo
Page 651 and 652:
Exemplo 8Seja y = φ(x), x ∈ ]-r,
Page 653 and 654:
tem o seguinte aspecto.Exemplo 9Res
Page 655 and 656:
e, portanto,ou seja,As funções co
Page 657 and 658:
são soluções de y″ = 2yy′ ta
Page 659 and 660:
Avalie φ(x) para x = 0,01. Estime
Page 661 and 662:
a) Determine a sequência de Picard
Page 663 and 664:
Separam-se as variáveis e integra-
Page 665 and 666:
Se k = 0, a expressão anterior for
Page 667 and 668:
15.3Equação Generalizada de Berno
Page 669 and 670:
Exemplo 3ResolvaSoluçãoA equaçã
Page 671 and 672:
satisfaz a condição inicial y(1)
Page 673 and 674:
SoluçãoPor inspeção!! verifica-
Page 675 and 676:
arctg u = x + ce, portanto,Assim,y
Page 677 and 678:
Separando as variáveis, obtemosDa
Page 679 and 680:
e, portanto,Substituindo em, vemque
Page 681 and 682:
ou seja,Separando as variáveis e i
Page 683 and 684:
Como ẋ(0) = e x(0) = 0, resulta c
Page 685 and 686:
1 a ordemxu ' + u = 4.Achada u = u(
Page 687 and 688:
Observação. Se em lugar detivéss
Page 689 and 690:
A importância deste resultado resi
Page 691 and 692:
Exemplo 2Suponha que uma partícula
Page 693 and 694:
Tendo em vista as condições inici
Page 695 and 696:
daíe, portanto,Substituindo em e s
Page 697 and 698:
15.15 Redução de uma Equação Di
Page 699 and 700:
A.1PreliminaresLema 1. Seja a equa
Page 701 and 702:
Da continuidade deem Ω, segue a co
Page 703 and 704:
Como, para todo s ∈ [x 0 - r, x 0
Page 705 and 706:
Deste modo, a sequência será unif
Page 707 and 708:
para todo natural n ≥ 1 e para to
Page 709 and 710:
para todo x ∈ [x 0 - r, x 0 + r],
Page 711 and 712:
para todo x ∈ [x 0 - d, x 0 + d].
Page 713 and 714:
Desse modo, A é limitado superiorm
Page 715 and 716:
sen nx sen mx e cos nx cos mxsão p
Page 717 and 718:
Observe queesão equivalentes aPara
Page 719 and 720:
eEntão, para todo natural n,em que
Page 721 and 722:
é a série de Fourier da funçãoN
Page 723 and 724:
para todo x ∈ [a, π] e quaisquer
Page 725 and 726:
A função g é contínua, de class
Page 727 and 728:
se f não for contínua em x.Além
Page 729 and 730:
faremos, a seguir, é eliminar esta
Page 731 and 732:
em x e parase f não for contínua
Page 733 and 734:
Vamos, por enquanto, admitir que a
Page 735:
é uma solução particular para a
Page 738 and 739:
DemonstraçãoDa hipótese, segue q
Page 740 and 741:
todo natural k. Entretanto, para o
Page 742 and 743:
CAPÍTULO 1Exercícios 1.1
Page 745:
Exercícios 1.2CAPÍTULO 2Exercíci
Page 751 and 752:
Page 753 and 754:
h) Convergentei) Convergentej) Dive
Page 755 and 756:
Exercícios 4.3Somando −ao 1 o me
Page 758 and 759:
Page 760:
CAPÍTULO 8Exercícios 8.2é absolu
Page 763:
CAPÍTULO 10Exercícios 10.2Exercí
Page 768:
9. Seja y = f(x), x > 0, a função
Page 771 and 772:
Exercícios 10.7
Page 773 and 774:
Exercícios 10.9
Page 777 and 778:
Page 781:
Exercícios 11.3
Page 786 and 787:
Exercícios 11.5
Page 788:
3. O movimento é regido pelo siste
Page 791 and 792:
Exercícios 12.5
Page 793:
10. Sugestão: Observe que o sinal
Page 800 and 801:
Observação. Seja y = y(x) a solu
Page 802 and 803:
com aplicações. São Paulo: Harbr
Page 804:
30. RUDIN, W. Principles of mathema
Page 810 and 811:
SumárioVideoaulas exclusivasCapít
Page 812 and 813:
Capítulo2Capítulo 3Capítulo 4Cap
Page 814 and 815:
Volume 4Capítulo Sequências Numé
Page 816 and 817:
Pela arbitrariedade de ε > 0, segu
Page 818 and 819:
SoluçãoConsidere a funçãoObserv
Page 820 and 821:
Calcule o limite da sequência, qua
Page 822 and 823:
SoluçãoDado ε > 0. Se ε < 1 ent
Page 824 and 825:
Claramente, a n+1 < a n para cada n
Page 826 and 827:
Utilize essa desigualdade para most
Page 828 and 829:
SoluçãoPelo Exercício 16, temos
Page 830 and 831:
Assim,e, portanto,2. Calcule a soma
Page 832 and 833:
Desta forma, como o segundo membro
Page 834 and 835:
SoluçãoReescreva a série comoObs
Page 836 and 837:
SoluçãoConsidere a funçãoDeriva
Page 838 and 839:
12. Escreva a fração decimal 0,35
Page 840 and 841:
Agora, como os coeficientes de P n
Page 842 and 843:
16. Mostre que é divergente.Soluç
Page 844 and 845:
e portanto a integralconverge.Clara
Page 847 and 848:
5. Estude a convergência da série
Page 849 and 850:
8. Mostrar que a sérieconverge par
Page 851 and 852:
Logo, pelo critério do termo geral
Page 853 and 854:
Pelo critério da raiz, se 1 < l <
Page 855 and 856:
Desta forma,Segue do critério da r
Page 857 and 858:
diverge, pois a sériediverge.Porta
Page 859 and 860:
converge.4. Mostre que a sérieconv
Page 861 and 862:
Neste caso, L = x/e x .Agora, se x
Page 863 and 864:
é uma série geométrica, e, porta
Page 865 and 866:
10. Sejaconverge?Solução11. Seja
Page 867 and 868:
Observe que as sériessão séries
Page 869 and 870:
converge, finalizando o exercício.
Page 871 and 872:
ConsidereDefina:SoluçãoSesão abs
Page 873 and 874:
3. Utilize somente a definição pa
Page 875 and 876:
SoluçãoT não precisa ser uma con
Page 877 and 878:
Logo, dado p ∈ N arbitrário:Assi
Page 879 and 880:
Agora, se n 1 > n 2 , entãoComo f
Page 881 and 882:
Agora, a n = π/2 arctg(n) é uma s
Page 883 and 884:
14. Seja C 0 = {(a n ); (a n ) é u
Page 885 and 886:
é convergente.Como a sequência (b
Page 887 and 888:
Se | x | > 1, então x 2n → ∞,
Page 889 and 890:
Absurdo! Logo, f n ′ não converg
Page 891 and 892:
converge uniformemente em R.Soluç
Page 893 and 894:
10. Considere a sequênciaPodemosca
Page 895 and 896:
13. Considere a sequência de funç
Page 897 and 898:
f(-π/2, π/2) = 1.A convergência
Page 899 and 900:
Utilizaremos o critério da razão:
Page 901 and 902:
Considere as somas parciais:Como a
Page 903 and 904:
converge uniformemente em R.Como ca
Page 905 and 906:
é uma função contínua em R.7. S
Page 907 and 908:
Dica: Se f :[a, b] → R é uma fun
Page 909 and 910:
para todo x ∈ R.Em particular, se
Page 911 and 912:
Desta forma,para todo x ∈ I.Comoc
Page 913 and 914:
13. SejaSoluçãoSeja I = [-1, 1],
Page 915 and 916:
converge uniformemente em R.Como ca
Page 917 and 918:
converge uniformemente em B? Prove
Page 919 and 920:
Capítulo Série de Potências81. M
Page 921 and 922:
3. Calcule o raio de convergência
Page 923 and 924:
5. Calcule o domínio Dde em que a
Page 925 and 926:
Para cada x ∈ (-r, r), temos ques
Page 927 and 928:
Agora, como | x | < r , temos quee
Page 929 and 930:
Contudopara todo | x | < 1. Observe
Page 931 and 932:
Agora, se n é ímpar, entãoLogo,
Page 933 and 934:
No nosso caso, a n = (-1) n , e por
Page 935 and 936:
16. Mostre quepara todo x ∈ R.Dic
Page 937 and 938:
Logo, ambas as séries são converg
Page 939 and 940:
Assim, de (1), temos:De 2, temos:
Page 941 and 942:
para todo n ≥ 2.Deste modo, a sé
Page 943 and 944:
4. Existem senos na série de Fouri
Page 945 and 946:
Deste modo,para todo n ∈ N, já q
Page 947 and 948:
Pelo Exercício 6, como g é uma fu
Page 949 and 950:
SoluçãoPelo teorema da Seção 9.
Page 951 and 952:
e como cos(nπ)(-1) n = (-1) n (-1)
Page 953 and 954:
12. Seja f : R → R a função per
Page 955 and 956:
13. Esboce o gráfico da função F
Page 957 and 958:
Portanto, a série de Fourier F de
Page 959 and 960:
SoluçãoCalculemos os coeficientes
Page 961 and 962:
SoluçãoConsidere a função peri
Page 963 and 964:
Agora, comoconverge uniformemente p
Page 965 and 966:
em que K é uma constante.Como y(0)
Page 967 and 968:
Integrando ambos os lados, temos qu
Page 969 and 970:
3. Seja c > 0. A curva tractriz é
Page 971 and 972:
Agora, voltando à variável y, tem
Page 973 and 974:
5. Resolva a equação diferencialS
Page 975 and 976:
em que K ∈ R.Voltando para a vari
Page 977 and 978:
8. Sendo determine a relação entr
Page 979 and 980:
Voltando para a variável v, temos
Page 981 and 982:
SoluçãoA equação se escreve com
Page 983 and 984:
em que K é uma constante não nula
Page 985 and 986:
é uma função contínua, pois h
Page 987 and 988:
Portanto, toda soluçãodo sistema
Page 989 and 990:
satisfaz a equação de BernoulliSa
Page 991 and 992:
Capítulo11Equações Diferenciais
Page 993 and 994:
3. Determine, passo a passo, a solu
Page 995 and 996:
com A B ∈ R.Neste caso,deve-se te
Page 997 and 998:
b) A equação característica éλ
Page 999 and 1000:
Assim,Portanto,8. Uma partícula de
Page 1001 and 1002:
que tem raízesLogo a solução ger
Page 1003 and 1004:
formaDerivando em relação a t, ob
Page 1005 and 1006:
A solução da equação homogênea
Page 1007 and 1008:
14. Considere a equação diferenci
Page 1009 and 1010:
Portanto, a solução geral é16. U
Page 1011 and 1012:
exponencial. Assim, calculando a tr
Page 1013 and 1014:
Capítulo12Sistemas de Duas e Três
Page 1015 and 1016:
SoluçãoA equação característic
Page 1017 and 1018:
SoluçãoNa forma matricial o siste
Page 1019 and 1020:
Logo, são os autovalores de A.Auto
Page 1021 and 1022:
Logo, ±αi são os autovalores de
Page 1023 and 1024:
são periódicas e calcule os perí
Page 1025 and 1026:
SoluçãoA matriz associada a esse
Page 1027 and 1028:
em queé um vetor de R 3 . Desta fo
Page 1029 and 1030:
em queé um vetor de R 2 . Desta fo
Page 1031 and 1032:
Finalmente, a solução geral da eq
Page 1033 and 1034:
13. Sejam f, g, h : R → R funçõ
Page 1035 and 1036:
Portanto, a solução geral do sist
Page 1037 and 1038:
15. Seja A uma matriz real de ordem
Page 1039 and 1040:
com 0 < x < π / 2.SoluçãoComo co
Page 1041 and 1042:
que admita soluçõesSoluçãoO pri
Page 1043 and 1044:
logoDaí, como x 1 ≠ x 2 , segue
Page 1045 and 1046:
Portanto, a equação procurada éC
Page 1047 and 1048:
Segue que B = 0 e A = 1 (ou qualque
Page 1049 and 1050:
É direto verificar que, tomando a
Page 1051 and 1052:
com A, B ∈ R.14. Encontre a solu
Page 1053 and 1054:
com x > 0.SoluçãoSabe-se que a so
Page 1055 and 1056:
é uma equação de Euler com equa
Page 1057 and 1058:
existência e unicidade de soluçõ
Page 1059 and 1060:
Verifique que as hipóteses do teor
Page 1061 and 1062:
5. Considere a equaçãocom a , b,
Page 1063 and 1064:
7. Encontre a solução y = y (x) d
Page 1065 and 1066:
logoem que A ∈ R. Impondo a condi
Page 1067 and 1068:
Suponha que k ≠ 0 . Neste caso, a
Page 1069 and 1070:
Portanto,12. Determine a sequência
Page 1071 and 1072:
Repetindo o processo, obtém-se φ
Page 1073 and 1074:
Portanto,eRepetindo o processo, obt
Page 1075 and 1076:
eRepetindo o processo, obtém-separ
Page 1077 and 1078:
eRepetindo o processo, obtém-se φ
Page 1079 and 1080:
eRepetindo o processo, obtém-se
Page 1081 and 1082:
em que k ∈ R é uma constante.b)
Page 1083 and 1084:
A equação é equivalente aFaça f
Page 1085 and 1086:
FaçaEntão,Portanto, a equação d
Page 1087 and 1088:
SoluçãoPor inspeção, y 1 (t) =
Page 1089 and 1090:
em que c ∈ R é uma constante. Se
Page 1091 and 1092:
Esse último sistema pode ser resol
Page 1093 and 1094:
SoluçãoFaça u = xy, assim,Essa
Page 1095 and 1096:
em que c ∈ R é uma constante. Da
Page 1097 and 1098:
em que c , k. ∈ RImpondo as condi
Page 1099 and 1100:
Conjuntos 1 NuméricosConjunto 1.1
Page 1101 and 1102:
Portanto, temos que b 2 é par, log
Page 1103 and 1104:
(b + c) = a · b + a · cPolinômio
Page 1105 and 1106:
coeficiente a n - 1 . O resultado s
Page 1107 and 1108:
1) Quadrado da soma: (a + b) 2 = a
Page 1109 and 1110:
ax 2 + bx + c = 0,em que a, b, c s
Page 1111 and 1112:
• Se c ≤ 0 e a ≤ b, então ac
Page 1113 and 1114:
Logo, S 2 = {x ∈ R | x ≥ 1} é
Page 1115 and 1116:
positivo quando x > 1 e negativo qu
Page 1117 and 1118:
• Um elemento de B pode estar ass
Page 1119 and 1120:
Analisando a função temos que, D
show all

Um Curso de Calculo - Vol

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?