Um Curso de Calculo - Vol

(Conservação da energia) Suponha que uma partícula de massa m
desloca-se sobre o eixo x sob a ação da força resultante f(x) , em que
f(x) é suposta definida e contínua no intervalo J. Seja U(x) uma
primitiva de –f(x). Esta primitiva U(x) é denominada função energia
potencial para f. Mostre que se a posição da partícula for dada por x
= x(t), t ∈ I, então existirá uma constante c, tal que para todo t no
intervalo I, tem-se
o que significa que a soma da energia cinética
com a energia
potencial U(x) permanece constante durante o movimento.
Solução
Pela 2 a lei de Newton, o movimento da partícula é regido pela
equação
De segue, pelo que vimos anteriormente,
equação de variáveis separáveis.
Substituindo na equação anterior, obtemos a
Integrando e lembrando que U′(x) = –f(x) resulta
Outro modo de se chegar a esta equação é o seguinte: multiplicando-