Um Curso de Calculo - Vol

17. Seja f n :[–π, π] → R uma sequência de funções integráveis que converge
uniformemente para uma função integrável f :[–π, π] → R em [–π, π]. Se
são os m-ésimos coeficientes de Fourier de f n e a m , b m são os m-
ésimos coeficientes de Fourier de f, mostre que
para todo m ∈ N.
Solução
Como f n converge uniformemente para f em [–π, π], podemos utilizar o teorema 2 da Seção 6.3
para concluir que
Agora considere as funções
, n, m ∈ N.
Seja m ∈ N fixado.
Como
para todo x ∈ [–π, π], e f n converge uniformemente em [–π, π], segue do critério de Cauchy para
convergência uniforme que
em [–π, π].
Além disso, é claro que o limite de
π].
é uma sequência de funções que converge uniformemente
quando n → ∞ é a função g m (x) = f(x)cos(mx), x ∈ [–π,