Um Curso de Calculo - Vol

é a solução geral de .
Demonstração
Já vimos que se f e g forem soluções, então
será, também, solução para quaisquer reais A e B. Vamos provar a seguir
que qualquer solução de é da forma . Seja y = h (x), x ∈ I, solução
de 3. Seja x 0 I. Como f e g são soluções linearmente independentes de
, pelo teorema da seção anterior, o wronskiano de f e g será diferente de
zero em todo x ∈ I, em particular, será diferente de zero para x = x 0 .
Segue que existem reais α e β tais que
Como h (x) e αf (x) + βg (x) são soluções de
condições iniciais
que satisfazem as mesmas
y (x 0 ) = h (x 0 ) e y′ (x 0 ) = h′ (x 0 ),
resulta do teorema da Seção 13.1 que, para todo x ∈ I,
Exemplo 1
h (x) = αf (x) + βg (x).
Sejam f e g definidas no intervalo ]1, 1 + ∞ [ e dadas por f (x) = e x e g
(x) = x.
a) Determine uma equação y″ + p (x) y′ + q (x) y 15 0 que admita f e