Um Curso de Calculo - Vol

de f e g serem linearmente independentes.
Exercícios 13.3
1. Sejam f e g duas funções definidas em R e dadas por f (x) = sen x e g
(x) = 1.
a) Verifique que f e g são linearmente independentes.
b) Seja W = W (x), x R, o wronskiano de f e g. Verifique que existe x 0 real
tal que W (x 0 ) = 0. Este resultado está em contradição com o teorema
desta seção? Explique.
2. Sejam f (x) = x 5 e g (x) = |x| 5 duas funções definidas em R.
a) Seja W o wronskiano de f e g. Verifique que W (x) = 0, para todo x ∈
R.
b) Prove que f e g são linearmente independentes.
c) Existe equação do tipo y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0, com p e q contínuas
em R, que admita f e g como soluções? Explique.
(Sugestão: Veja teorema desta seção.)
3. Sejam f, g: I → R duas funções, com f e g deriváveis no intervalo I.
Seja W = W (x), x ∈ I, o wronskiano de f e g. Prove que se W (x 0 ) ≠ 0
para algum x 0 I, então f e g serão linearmente independentes.
4. Sejam f, g: I → R deriváveis no intervalo I. Provamos no Exemplo 2
que uma condição necessária para que f e g sejam linearmente
dependentes é que o wronskiano de f e g seja identicamente nulo em I.
Tal condição é suficiente? Explique.
(Sugestão: Veja Exercício 2.)
5. Seja f, g: I → R deriváveis até a 2 a ordem no intervalo I. Seja W = W
(x), x ∈ I, o wronskiano de f e g. Suponha que f e g sejam linearmente