Um Curso de Calculo - Vol

Se, para todo natural n,
f (–π) = f(π) e g (–π) = g (π).
e
então
f(x) = g(x) em [–π, π].
Demonstração
Seja
h(x) = f (x) – g (x) em [–π, π].
Segue da hipótese que h é contínua em [–π, π] e h(–π) = h (π). Seja H: R
→ R periódica de período 2π dada por
H(x) = h(x) em [–π, π].
Precisamos provar que h (x) = 0 em [–π, π]. Suponhamos que exista x 0 ∈
[–π, π] tal que
h (x 0 ) ≠ 0.
Para fixar o raciocínio suporemos h (x 0 ) > 0. Como H(x 0 ) = h (x 0 ) > 0 e H é
contínua, pela conservação do sinal existe δ > 0, com
H (x) > 0 em ]x 0 – δ, x 0 + δ[.
Segue da hipótese que, para todo natural n,
, tal que