Um Curso de Calculo - Vol

Tendo em vista a 1 a equação, resulta
que é uma equação diferencial linear, homogênea, com coeficientes
constantes e de 4 a ordem. A equação característica de é
que é equivalente a
λ 4 – 1 = 0,
(λ 2 – 1)(λ 2 + 1) = 0,
cujas raízes são: ±1 e ±i. A solução geral de
é, então,
Pela relação de Euler
e
Segue que
y = Ae t + Be –t + C 1 e it + D 1 e –it .
e it = cos t + i sen t
e –it = cos t – i sen t.
y = Ae t + Be –t + C cos t + D sen t,
em que C = C 1 + D 1 e D = i (C 1 – D 1 ). Como x = ÿ (2 a equação de
), resulta
x = Ae t + Be –t – C cos t – D sen t,
Para que as condições iniciais sejam satisfeitas, devemos ter