Um Curso de Calculo - Vol

Solução
Primeiramente, observe que
em x = 0;
converge em x = 1, e portanto não é convergente somente
não converge absolutamente para todo x real, já que, se x =
1, então a série não é absolutamente convergente.
Utilizando o teorema da Seção 8.2, temos que existe R > 0 tal que a série
converge
absolutamente para todo x no intervalo (–R, R) e diverge para todo x, com |x| > R. Contudo, nos
extremos, não temos nenhuma informação.
Como a série não converge absolutamente em x = 1, temos que R ≤ 1, já que qualquer R > 1
implicaria que
converge absolutamente.
Por outro lado, pelo teorema da Seção 8.1, segue que converge absolutamente em (–1, 1)
, o que implica que R ≥ 1.
Logo, R = 1. Além disso,
é convergente.
Deste modo, podemos afirmar que a série converge se x ∈(–1, 1] e que a série diverge se |x| > 1.
O único caso indeterminado é quando x = –1.
Assumindo que a n ≠ 0 para todo n ∈ N, temos que o raio de convergência é dado por:
logo, como R = 1, temos que: