Um Curso de Calculo - Vol

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C.1Lema de KummerO objetivo deste apêndice é estabelecer o incrível critério de Kummer,Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Nesta seção, será estabelecido o lemade Kummer, em que a série telescópica entra de maneira decisiva.Lema de Kummer. Sejam a k e b k duas sequências, com a k > 0 e b k > 0 para todo natural k, esuponhamos que existam σ > 0 e um natural m tais que, para todo k ≥ m,Nestas condições, a sérieserá convergente.
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■ Os autores deste livro e a edit
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Aos meus filhosMaristela e Hamilton
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Agradecimentos especiaisPara esta n
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O que há de novo nesta 6 a ediçã
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■ Videoaulas com solução de exe
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■ Exercícios
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Sumário geralVolume 11 Números Re
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Apêndice AApêndice BFunções de
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Sumário1 Sequências Numéricas1.1
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10.5 Equação de Bernoulli10.6 Equ
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Teorema de Existência e Unicidade
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Exemplo 2Seja a sequência de termo
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Exemplo 5CalculeSoluçãoExemplo 6(
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Exemplo 8Considere uma sequência d
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(Observe que, para )Assim,Portanto,
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Exercícios 1.11. Determine o termo
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Sejaéconvergente ou divergente? Ju
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1.2 Sequências Crescentes e Sequê
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n > n 0 ⇒ a - ε < a n .Mas, para
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Como a sequênciaé crescente eresu
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1. É convergente ou divergente? Ju
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8. A sequência de termo geralé co
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divergente.O símbolofoi usado para
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SoluçãoComoDaíLogo, a série dad
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No próximo exemplo, consideramos u
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série, com erro inferior aExemplo
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a) É o exemplo 3 com α = 2.b) Pel
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Soluçãoa) Este problema será res
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Pelo exemplo anterior,Ainda pelo ex
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b) TemosComoresulta que o erro que
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6. Supondo 0 < α < 1, mostre que7.
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12. Determine nde modo que seja um
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(Interprete geometricamente α m .)
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22. Considere a função Seja E >1
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s 2n ≤ s 2n - 2 .Isto decorre do
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é decrescente epelo teorema acima,
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2.3 Uma Condição Necessária para
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A sequênciaé crescente edivergent
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3.1Critério da IntegralCritério d
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SoluçãoExemplo 2Seja α > 0, com
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2. Suponha que a função f : [0, +
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DemonstraçãoComo, para todo k ≥
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Exemplo 2A sérieé convergente ou
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Do mesmo modo, prova-se que seentã
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SoluçãoTemos:Tomando-seexiste um
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oupara todo k ≥ p. A convergênci
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EntãoDemonstraçãoa) De e real, s
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Pelo critério do limite, a série
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Pelo critério do limite, conclui-s
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(Sugestão: Para mostrar a converg
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positivos. Suponhamos que exista um
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Pelo critério de comparação de r
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Soluçãoa) Fica para o leitor.b) I
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então a série é convergente.Solu
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Exemplo 2Mostre que a sérieé dive
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Segue quePelo critério da razão,
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DemonstraçãoVeja final da seção
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Exercícios 3.41. É convergente ou
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3.5Critério de Raabe
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Pelo critério de Raabe, a série
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Critério de De Morgan. Seja a sér
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(Confira!) Por outro lado, lembrand
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4.1 Série Absolutamente Convergent
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Para todo natural k,é também conv
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Comoresultapois,Seguedo critério d
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divergente para |x| > 1. Para |x| =
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2. Determine o domínio da função
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DemonstraçãoPara todo n ≥ 0,
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b) Mostre que existe uma reordenaç
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5.1Sequências de CauchyDizemos que
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l 0 = inf {a 0 , a 1 , a 2 , ...}l
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tendo em vistaque, para todo ε ≥
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1. Dizemos que uma função T: R
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para todo ε > 0 dado, existir um n
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Exemplo 2Prove que a sérieé conve
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conjugado do denominador e fazendo
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e, portanto,Pelo lema de Abel (exem
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5. Olhando para a identidade de Abe
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SoluçãoPrecisamos mostrar que, pa
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SoluçãoO domínio de f é o conju
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b) Para cada x ∈ [0, 1], (por qu
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depender de ε e de x) tal queMostr
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converge uniformemente a f emSoluç
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Para todo n ≥ 1, existe x ∈ ]-1
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Se a convergência fosse uniforme,
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b) A sequência f n , n ≥ 1, conv
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Observe que cada f n é contínua e
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Teorema 3. Seja f n uma sequência
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Critério de Cauchy. Uma sequência
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Da hipótese de cada f n ser contí
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7.1Série de FunçõesUma série de
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Observe que7.3 O Critério M de Wei
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Soluçãoa) Para todo x e para todo
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Seção 6.3,DesegueMas,Logo,Observa
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6. Sejam a k , k ≥ 0, e b k , k
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b) Prove que a sérieé uniformemen
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Como a convergência é uniforme em
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Para todo x real e para todo k ≥
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Não É Derivável em Nenhum Ponto
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é uniformemente convergente em R e
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daíDo que vimos acima resultaou se
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8.1Série de PotênciasSeja a n n
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a série alternadaque já sabemos q
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fosse convergente, pelo teorema da
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ou seja, convergirá, para todo x,
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Determinemos seu raio de convergên
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2. Seja α um real dado, com α > 0
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DemonstraçãoDemonstraçãoFica a
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Exemplo 1Seja a série de potência
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Prove que, para todo n, a n = 0.Sol
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Tendo em vista que, a 0 = 1,Assim,F
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Comoresultaou seja,Exercícios 8.3
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3. Avalie ln 2 com erro inferior, e
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desenvolvível em série de potênc
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Conclua que, para todo x ∈ [0, 1]
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Proceda, então, como no Exercício
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9.1Série de Fourier de uma Funçã
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Seja, agora, k ≥ 1 um natural fix
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edenominam-se coeficientes de Fouri
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e, portanto,Como x 2 sen nx é uma
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ou seja,Portanto, a série de Fouri
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Exercícios 9.11. Determine a séri
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Vimos no Exemplo 5 da seção anter
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eTemosIntegrando por partes, vemem
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Weierstrass.■Exemplo 2Mostre que
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Pela hipótese, a série converge u
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Fazendo x = 0 em, obtemose, portant
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Exemplo 3Determine uma série de Fo
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resolve o problema. De fato, g é c
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fazer mais alguns comentários sobr
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sendo a convergência uniforme no c
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9. Seja F : R → R dada porem que
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sendo a convergência uniforme em R
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com n inteiro. Esta afirmação dec
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Segue que F : R → R é a função
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10.1Equação Diferencial de 1a Ord
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O coeficiente angular da reta tange
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variáveis separáveis.Exemplo 3Ver
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Exemplo 2A equação não admite so
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10.3 Equações de Variáveis Separ
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Exemplo 1Resolva a equaçãoSoluç
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a) A solução constante y(x) = 0 s
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Assim, a função procurada é solu
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tanque é regida pela equaçãoTemo
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Segunda lei de Newtonem que m é a
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2. Determine y = y(x) que satisfaç
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a A seja sempre 2.10.4Equações Li
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em que as integrais indicam primiti
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seguinte modo. A solução da equa
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repetindo este procedimento, ao fin
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2. Suponha E, R e C constantes não
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8. Uma partícula desloca-se sobre
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Resolva a equaçãoSoluçãoTrata-s
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da população é regida pela equa
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resultaque é uma equação de vari
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2. Considere a equação Verifique
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Por outro lado, pela regra da cadei
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partícula é puxada novamente para
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Integrando, obtemosPara que as cond
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se os dois membros da equaçãoTemo
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b) Para v > -1, temos v + 1 > 0. As
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c) Suponhamos Então, a relaçãoen
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forma, o movimento do corpo é regi
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Sejam P(x, y) e Q(x, y) contínuas
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é necessária e suficiente para a
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Tendo em vista o exemplo anterior,
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que satisfaz a condição inicial y
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Observação. Às vezes é preferí
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e, deste modo, se γ(t) = (x, y) fo
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4. Uma partícula desloca-se sobre
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para alguma função h de uma vari
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TemosA equação não é exata, poi
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SoluçãoSubstituindo em, vemSeent
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com t = xy. TemosSegue do exemplo a
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5. Estabeleça uma fórmula para as
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em que h(t) é função de uma vari
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Suponha que no instante t = 0 a par
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Procedendo como no exemplo anterior
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restrição t ∈ pode ser eliminad
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que satisfaça as condições x(0)
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I,logo, existe uma constante c tal
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eDaí e pelo fato de -, resultaLogo
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Como t(θ 0 ) = t 0 e t(θ 1 ) = t
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x 2 - y 2 = c,que é uma família d
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A partícula descreve o movimento s
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Substituindo na 1 a equação do si
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é solução de .Exemplo 12Consider
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ou seja,Tendo em conta e , resultal
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e, portanto,ln ρ - ln(1 - cos θ)
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2. Determine uma função y = f(x)
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5. Um objeto aquecido a 80 °C é c
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f(x), 0 ≤ x ≤ t, seja igual a 2
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transforma a equaçãonuma de vari
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Desenhe a trajetória descrita pela
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definem implicitamente soluções y
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Como f é contínua em I, e at f(t)
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A solução que satisfaz a condiç
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1. Determine a solução geral.2. U
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(II) Se λ 1 = λ 2 , a solução g
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Determine a solução geral.Soluç
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resultaou seja,Trata-se, então, de
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Exemplo 7Uma partícula de massa m
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λ = -γ ± ω 1 i,em que . A solu
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ou seja,ẍ + 4ẋ + 5x = 0.A solu
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ou seja,x = e -t [A 1 e it + B 1 e
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5. Uma partícula de massa m = 1 de
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complexa α + iβ, admitirá, tamb
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Exemplo 3Determine a solução gera
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evidentemente, se λ 1 = λ 2 , ent
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Resolvendo este sistema, obtemosAss
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Como θ ∈ [0, 2π[, resultaAs ra
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x = A 1 e it + B 1 te it + C 1 e -i
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a posição da partícula no instan
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Por outro lado, se x = x(t), t ∈
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Logo,Deste modo,é uma solução pa
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Observação. Consideremos a equaç
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Exemplo 4Determine uma solução pa
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em que P(t) é um polinômio de mes
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simples desta equação, segue do i
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x h = Ae 2t + Bte 2t .(Verifique.)
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ẍ + x = e t cost.SoluçãoAs raí
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+ N sen β 1 t), em que α, α 1 ,
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e, portanto, . Logo,é uma soluçã
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Exemplo 13(Oscilação forçada com
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resultameA solução particular 10
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λ + 2 = 0.Logo, a solução da hom
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solução particular de ẍ + bẋ
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9. Determine a solução geral11.5
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seja uma solução particular de. T
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Temosou seja,∫sent tgt dt = ln(se
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Integrando por partes, vemPara s >
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Seja f uma função definida em [0,
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Demonstraçãoa) Suponhamos que f s
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Exemplo 4Determine uma solução pa
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A expressãonão aparece na tabela,
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Para demonstrar o teorema de Lerch
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G(t) = 0 em [0, 1].Vamos, agora, de
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Logo,h(t) = 0 em [0, +∞[.■Para
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Exemplo 1O par de funções x = cos
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Agora, multiplicando a 2 a equaçã
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Se λ 1 ≠ λ 2 e reais, a soluç
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O importante teorema que destacarem
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é a solução geral de .Sendosolu
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e, portanto,Assim, W = W (t) é uma
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Com estas notações, o sistemase e
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Soluçãoa) Os autovalores são as
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sistema admite uma solução do tip
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eExemplo 3Considere o sistemae seja
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e u, υ e w são vetores-colunas co
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A (αu + βυ) = A0e, portanto,αAu
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diferenciais lineares de 1 a ordem
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De λ 1 ≠ λ 3 e λ 2 ≠ λ 3 ,
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Estamos, agora, em condições de e
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SoluçãoeA solução geral éExemp
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O autovalor λ 2 = 3 fornece a solu
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Assim, o autovalor λ 1 = −1 forn
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λ = 1 é o único autovalor. Deter
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(i é a unidade imaginária) seja s
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Pelo exemplo anterior,são, também
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3. Uma partícula é abandonada na
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b) Se λ 1 = α + iβ e λ 2 = α
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S 2 (t) nos tanques estão variando
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Suponha que T 1 (0) = 20 e T 2 (0)
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diferente de zero, em t = 0, (W(0)
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em que λ 1 = a 11 , λ 2 = a 22 e
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O 4 o caso ocorrerá quando o siste
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e isto só será possível seDaí,
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(A − λ 1 I) 2 υ = 0.O υ procur
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Exemplo 1ResolvaSoluçãoA soluçã
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Daí, n = −2p e m = 0. Os autovet
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Só para conferir, verifique que o
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ResolvaSoluçãoOs autovalores são
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Exemplo 6ResolvaSoluçãoOs autoval
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Segue que, quaisquer que sejam os r
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Este é equivalente aSegue que o no
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Tomando-se p = 0, resultam m = 3 e
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Como λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = (
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2. O movimento de uma partícula no
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solução para A e B. Sejam x (t),
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é a solução geral da homogênea
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em que c 1 (t) e c 2 (t) são dadas
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TemosSegue queeDaí,Portanto,Exempl
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eAssim,é uma solução particular.
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Para finalizar a seção, vamos pro
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em queGeneralize.Exemplo 4Considere
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é uma solução particular de 11 e
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13.1 Equações Diferenciais Linear
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Resolva a equaçãoSoluçãoFaçamo
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f(x 0 ) = 0 e f ′ (x 0 ) = 0para
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y″ - (x 2 + 1) y = 0.Seja y = f (
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pode ser solução de alguma equaç
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Como f e g são soluções de , par
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em que p e q são supostas contínu
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0 para algum x 0 ∈ I. Prove que f
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y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0com
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independentes e que existam x 0 e x
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g como soluções.b) Ache a soluç
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Substituindo na equação e simplif
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da Seção 8.3.)7. Determine a solu
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TemosAqui, . A equação é equival
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Segue que(Confira.) Assim, tomando-
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É o que faremos a seguir. Calculem
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converge para todo x. Verifique.)O
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Substituindo eme simplificando, obt
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em que p (x), q (x) e r (x) são su
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SoluçãoPara podermos utilizar a f
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2. Considere a equação xy″ + xy
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Tal solução K p (x) denomina-se f
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15. Resolva o Exercício 10 com aux
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14.1 Teoremas de Existência e Unic
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Assim,são contínuas em Ω = R 2 .
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(Lembre-se de que o domínio de uma
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eTemos as soluçõese
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Exemplo 2Mostre que a equaçãoadmi
Page 645 and 646:
não inclui todas as soluções de
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em volta de x 0 = 0.SoluçãoO poli
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para todo x ∈ ]-r, r[.SoluçãoCo
Page 651 and 652:
Exemplo 8Seja y = φ(x), x ∈ ]-r,
Page 653 and 654:
tem o seguinte aspecto.Exemplo 9Res
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e, portanto,ou seja,As funções co
Page 657 and 658:
são soluções de y″ = 2yy′ ta
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Avalie φ(x) para x = 0,01. Estime
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a) Determine a sequência de Picard
Page 663 and 664:
Separam-se as variáveis e integra-
Page 665 and 666:
Se k = 0, a expressão anterior for
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15.3Equação Generalizada de Berno
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Exemplo 3ResolvaSoluçãoA equaçã
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satisfaz a condição inicial y(1)
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SoluçãoPor inspeção!! verifica-
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arctg u = x + ce, portanto,Assim,y
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Separando as variáveis, obtemosDa
Page 679 and 680:
e, portanto,Substituindo em, vemque
Page 681 and 682:
ou seja,Separando as variáveis e i
Page 683 and 684:
Como ẋ(0) = e x(0) = 0, resulta c
Page 685 and 686: 1 a ordemxu ' + u = 4.Achada u = u(
Page 687 and 688: Observação. Se em lugar detivéss
Page 689 and 690: A importância deste resultado resi
Page 691 and 692: Exemplo 2Suponha que uma partícula
Page 693 and 694: Tendo em vista as condições inici
Page 695 and 696: daíe, portanto,Substituindo em e s
Page 697 and 698: 15.15 Redução de uma Equação Di
Page 699 and 700: A.1PreliminaresLema 1. Seja a equa
Page 701 and 702: Da continuidade deem Ω, segue a co
Page 703 and 704: Como, para todo s ∈ [x 0 - r, x 0
Page 705 and 706: Deste modo, a sequência será unif
Page 707 and 708: para todo natural n ≥ 1 e para to
Page 709 and 710: para todo x ∈ [x 0 - r, x 0 + r],
Page 711 and 712: para todo x ∈ [x 0 - d, x 0 + d].
Page 713 and 714: Desse modo, A é limitado superiorm
Page 715 and 716: sen nx sen mx e cos nx cos mxsão p
Page 717 and 718: Observe queesão equivalentes aPara
Page 719 and 720: eEntão, para todo natural n,em que
Page 721 and 722: é a série de Fourier da funçãoN
Page 723 and 724: para todo x ∈ [a, π] e quaisquer
Page 725 and 726: A função g é contínua, de class
Page 727 and 728: se f não for contínua em x.Além
Page 729 and 730: faremos, a seguir, é eliminar esta
Page 731 and 732: em x e parase f não for contínua
Page 733 and 734: Vamos, por enquanto, admitir que a
Page 735: é uma solução particular para a
Page 739 and 740: com H finito ou infinito. Nestas co
Page 741 and 742: Neste caso, o critério de Kummer
Page 743: d) Considere a sequência de interv
Page 750 and 751: Exercícios 2.2
Page 752 and 753: Exercícios 3.21. a) Convergenteb)
Page 754 and 755: Exercícios 3.5CAPÍTULO 4Exercíci
Page 756: CAPÍTULO 6Exercícios 6.1Exercíci
Page 759 and 760: Como cada s n é contínua em R (s
Page 762 and 763: CAPÍTULO 9Exercícios 9.1Exercíci
Page 774: Exercícios 10.11
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CAPÍTULO 12Exercícios 12.3
Page 790 and 791:
Exercícios 12.4
Page 792 and 793:
CAPÍTULO 13Exercícios 13.17. Suge
Page 796:
9. Verifica-se por inspeção que y
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1. APOSTOL, T. M. Análisis matemá
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18. _________________ . Oscillating
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Os Materiais Suplementares do livro
Page 811 and 812:
Capítulo 3Capítulo 4Capítulo6Cap
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Capítulo 4Capítulo 5Termos Positi
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Agora, seja ε = 1/2, e considere o
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em que a n e b n são sequências c
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Comoe g é uma função contínua,
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SoluçãoAssuma queem que a ∈ R.
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para todo r > 0. Logo, a sequência
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SoluçãoDe fato, considere a funç
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Indutivamente,Logo,Dado ε > 0, pod
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Capítulo Séries Numéricas21. Cal
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Sabemos queLogo,3. Mostre que a sé
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5. Suponha que f :[0, ∞) → (0,
Page 835 and 836:
Observe que a equação acima só
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10. Apresente uma série convergent
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O mesmo processo pode ser usado par
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Assim, s n é crescente e limitada,
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Capítulo3Critérios de Convergênc
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para todo k ≤ 1.Além disso,e ass
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é divergente.SoluçãoAssim, pelo
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SoluçãoPelo critério de compara
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Assim, pelo critério da razão, a
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e portanto a série converge pelo c
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Capítulo4Séries Absolutamente Con
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SoluçãoObserve queporém não pod
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Como α > 2, então α /2 > 1, e po
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Assim7. Seja a um número real. Det
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SoluçãoSabemos que, se |r|< 1, en
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Com isso, temos que12. Calcule a so
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Agora, seentão, a n é uma série
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converge, concluindo a prova.16. Se
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CapítuloCritérios de Cauchy e de
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Utilizando o teorema do confronto,
Page 876 and 877:
Sejae considere λ < 1. Mostre que
Page 878 and 879:
Logo, T é contínua em x 0 . Pela
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Agora, a n = π/2 arctg(n) é uma s
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Como a n é uma sequência decresce
Page 884 and 885:
l 2 - {(b n ); (b n ) é uma sequê
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Capítulo Sequências de Funções6
Page 888 and 889:
converge uniformemente em R. Verifi
Page 890 and 891:
para todo x ∈ [a, b]Concluímos a
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uniformemente em B.SoluçãoUtiliza
Page 894 and 895:
A afirmação é falsa. Tome. é co
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14. Dê exemplo de uma sequência d
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Capítulo Série de Funções71. En
Page 900 and 901:
Como é uma série absolutamente co
Page 902 and 903:
Observe que seconverge uniformement
Page 904 and 905:
é uniformemente convergente em R.
Page 906 and 907:
Por hipótese, s k converge uniform
Page 908 and 909:
Como f é uma função par, então
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para todo x ∈ R.Em particular, se
Page 912 and 913:
12. Mostre que se a série converge
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para todo x ∈ I.Agora, utilizando
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para todo x ∈ [x 0 - 1, x 0 +1].C
Page 918 and 919:
para cada x ∈ R.Pode ser mostrado
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SoluçãoPrimeiramente, observe que
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SoluçãoComo os termos =são não
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ConsidereDeste modo, calculemos o r
Page 926 and 927:
É fácil ver que o raio de converg
Page 928 and 929:
Contudo, como | x | < 1, podemos ve
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ConsidereContudopara todo | x | < 1
Page 932 and 933:
para todo | t | < 1. AssimDeste mod
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ou seja,ou aindaDeste modo, temos q
Page 936 and 937:
Utilizando a dica, temos que f (x)
Page 938 and 939:
CapítuloIntrodução às Séries d
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2. Determine a série de Fourier da
Page 942 and 943:
Portanto, a série de Fourier de f
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Como f(-u) = - f(u), temos queLogoe
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7. Seja f:[-π, π] → R uma funç
Page 948 and 949:
pois h(x)cos(nx) é uma função í
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9. Encontre a soma deDica: Utilize
Page 952 and 953:
Por fim, f(-π) = 0 = f(π).Logo, p
Page 954 and 955:
se f for descontínua em x.Observe
Page 956 and 957:
se f for descontínua em x.Segue qu
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Como f é uma função periódica c
Page 960 and 961:
Logoe assimPortanto, a série de Fo
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17. Seja f n :[-π, π] → R uma s
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Capítulo10Equações Diferenciais
Page 966 and 967:
diferencial se comporta com relaç
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Observe que se α < 0 temos duas so
Page 970 and 971:
Além disso, como γ(0) = (0, c), t
Page 972 and 973:
4. Resolva a equação diferenciale
Page 974 and 975:
Logo6. Resolva a equação diferenc
Page 976 and 977:
em queDe fatoFazendo a mudança de
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9. Considere a equaçãoem que k e
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Integrando, obtemosLogoem que K 1
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em que K é uma constante. Escolha
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é uma função tal queE, portanto,
Page 986 and 987:
e portantoé exata.15. O movimento
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Integrando a equação, obtemosAssi
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Portanto, z satisfaz a equação de
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Assim,2. Esboce o gráfico da solu
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SoluçãoMultiplicando ambos os lad
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Observe que, no instante t = 0, a p
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7. Seja a ≠ 1. Calcule a soluçã
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Tem-se duas equações característ
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que tem raízesLogo, a solução ge
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em que a, b, c ∈ R.SoluçãoAs ra
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com A, B ∈ R. A equação caracte
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15. Seja b ∈ R um número não nu
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Portanto,ePela tabela de transforma
Page 1012 and 1013:
em quePela tabela de transformadas,
Page 1014 and 1015:
em que k 1 , k 2 ∈ R.2. Resolva o
Page 1016 and 1017:
Determine a solução geral do sist
Page 1018 and 1019:
(A − πI) v 2 = 0em queé um veto
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logo, 3x = y. Então, os autovetore
Page 1022 and 1023:
em queé um vetor de R 2 . Desta fo
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Portanto, as soluções do sistema
Page 1026 and 1027:
autovetor particular éAutovetores
Page 1028 and 1029:
11. Determine a solução geral da
Page 1030 and 1031:
Agora, observe quesão soluções p
Page 1032 and 1033:
e a equação é equivalente ao sis
Page 1034 and 1035:
Logo, uma solução particular é d
Page 1036 and 1037:
Portanto, θ(t) = θ(t 0 ) + t, e p
Page 1038 and 1039:
Portanto, X(t) = e Bt X(0) é solu
Page 1040 and 1041:
SoluçãoO primeiro passo é impor
Page 1042 and 1043:
SoluçãoSuponha que α , β ∈ R
Page 1044 and 1045:
logo W(x) ≠ 0 para todo 0 < x <
Page 1046 and 1047:
consequentemente,Então, devemos pr
Page 1048 and 1049:
SoluçãoDevido ao formato da equa
Page 1050 and 1051:
12. Encontre a solução geral para
Page 1052 and 1053:
com x > 0.SoluçãoSabe-se que a so
Page 1054 and 1055:
Portanto, a solução geral écom A
Page 1056 and 1057:
com A, B ∈ R.Volume 4Capítulo14T
Page 1058 and 1059:
Verifique que as hipóteses do teor
Page 1060 and 1061:
em que x ∈ I e y (x) > 0 para tod
Page 1062 and 1063:
6. Considere a equaçãoVerifique q
Page 1064 and 1065:
Impondo a condição y(0) = 1, segu
Page 1066 and 1067:
Fazendo f (x , y) = e y + e 2y + c,
Page 1068 and 1069:
e
Page 1070 and 1071:
Portanto,e
Page 1072 and 1073:
Portanto,14. Seja φ n a sequência
Page 1074 and 1075:
Uma vez que são contínuas em Ω =
Page 1076 and 1077:
Sabe-se queSendo, segue quePortanto
Page 1078 and 1079:
do problema considerado.17. Determi
Page 1080 and 1081:
para todo n > 0. Portanto, para tod
Page 1082 and 1083:
2. Determine as soluções dos segu
Page 1084 and 1085:
Impondo a condição y(π) = 0, obt
Page 1086 and 1087:
em que a , b ∈ R e a > 0 tem a pr
Page 1088 and 1089:
Finalmente, y (t) = z (t) + 2, logo
Page 1090 and 1091:
em que k ∈ R é uma constante. Se
Page 1092 and 1093:
e, assim,Faça v = zu, daíEssa úl
Page 1094 and 1095:
consequentemente,Portanto,em que c
Page 1096 and 1097:
em que c ∈ R é uma constante.Imp
Page 1098 and 1099:
Logo, a equação de Riccati associ
Page 1100 and 1101:
O conjunto dos números racionais
Page 1102 and 1103:
M1) Associatividade da multiplicaç
Page 1104 and 1105:
Note que o grau do produto é a som
Page 1106 and 1107:
Do mesmo modo, multiplicamos 0 por
Page 1108 and 1109:
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n -
Page 1110 and 1111:
Portanto, as raízes da equação a
Page 1112 and 1113:
Uma inequação é dita de 1 o grau
Page 1114 and 1115:
inequação devemos analisar cada u
Page 1116 and 1117:
intervalos: ] - ∞, -4[, ] -4, 5[
Page 1118 and 1119:
Além destas operações, definimos
Page 1120:
ax 2 + bx + c = 0, ou seja, f (x) =
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Um Curso de Calculo - Vol

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