Um Curso de Calculo - Vol

Da continuidade de
em Ω, segue a continuidade no retângulo Q; pelo
teorema de Weierstrass, existe uma constante K > 0 tal que
para todo (x, y) em Q. Sejam (x, y 1 ) e (x, y 2 ) dois pontos quaisquer de Q.
Temos, pelo TVM,
para algum s entre y 1 e y 2 . Assim,
Lema 3. Seja f : Ω ⊂ R 2 → R, Ω aberto, contínua e seja (x 0 , y 0 ) ∈ Ω. Sejam a > 0 e b > 0
tais que o retângulo
esteja contido em Ω. Seja M > 0 tal que
(Tal M existe, pois f é contínua em Q.) Seja r > 0, tal que
Seja y n – 1 = y n – 1 (x), x 0 – r ≤ x ≤ x 0 + r, contínua e cujo gráfico esteja contido em Q; seja
y n = y n (x), x 0 – r ≤ x ≤ x 0 + r,