Um Curso de Calculo - Vol

(Observe que, para todo n ≥ 1, o gráfico de y n está contido em Q.) Tal
sequência de funções denomina-se sequência de Picard para o problema
Provaremos, na próxima seção, que a sequência acima converge
uniformemente a uma função y = y(x), x ∈ [x 0 – r, x 0 + r], e que esta
função é uma solução do problema .
A.2Teorema de Existência
Seja f : Ω ⊂ R 2 → R, Ω aberto, e seja (x 0 , y 0 ) ∈ Ω. Suponhamos que f e
sejam contínuas em Ω. Sejam r e Q como no lema 3 da seção
anterior. Seja K como no lema 2. Nosso objetivo, a seguir, é provar que a
sequência de Picard
converge uniformemente em [x 0 – r, x 0 + r].
Consideremos a série
Observamos que, para todo n ≥ 1,