Um Curso de Calculo - Vol

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3.6Critério de De Morgan
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■ Os autores deste livro e a edit
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Aos meus filhosMaristela e Hamilton
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Agradecimentos especiaisPara esta n
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O que há de novo nesta 6 a ediçã
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■ Videoaulas com solução de exe
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■ Exercícios
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Sumário geralVolume 11 Números Re
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Apêndice AApêndice BFunções de
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Sumário1 Sequências Numéricas1.1
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10.5 Equação de Bernoulli10.6 Equ
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Teorema de Existência e Unicidade
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Exemplo 2Seja a sequência de termo
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Exemplo 5CalculeSoluçãoExemplo 6(
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Exemplo 8Considere uma sequência d
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(Observe que, para )Assim,Portanto,
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Exercícios 1.11. Determine o termo
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Sejaéconvergente ou divergente? Ju
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1.2 Sequências Crescentes e Sequê
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n > n 0 ⇒ a - ε < a n .Mas, para
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Como a sequênciaé crescente eresu
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1. É convergente ou divergente? Ju
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8. A sequência de termo geralé co
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divergente.O símbolofoi usado para
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SoluçãoComoDaíLogo, a série dad
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No próximo exemplo, consideramos u
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série, com erro inferior aExemplo
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a) É o exemplo 3 com α = 2.b) Pel
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Soluçãoa) Este problema será res
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Pelo exemplo anterior,Ainda pelo ex
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b) TemosComoresulta que o erro que
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6. Supondo 0 < α < 1, mostre que7.
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12. Determine nde modo que seja um
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(Interprete geometricamente α m .)
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22. Considere a função Seja E >1
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s 2n ≤ s 2n - 2 .Isto decorre do
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Page 86 and 87: 3.1Critério da IntegralCritério d
Page 88 and 89: SoluçãoExemplo 2Seja α > 0, com
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Page 94 and 95: Exemplo 2A sérieé convergente ou
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Page 100 and 101: oupara todo k ≥ p. A convergênci
Page 102 and 103: EntãoDemonstraçãoa) De e real, s
Page 104 and 105: Pelo critério do limite, a série
Page 106: Pelo critério do limite, conclui-s
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Page 121 and 122: Segue quePelo critério da razão,
Page 123 and 124: DemonstraçãoVeja final da seção
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Page 127 and 128: 3.5Critério de Raabe
Page 129: Pelo critério de Raabe, a série
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Page 135: desde que um dos dois limites exist
Page 138 and 139: é convergente. Deste modo, a séri
Page 140 and 141: Comoé convergente (série harmôni
Page 142 and 143: Demonstração■Exemplo 1Determine
Page 144 and 145: Observação. Para cadaé um númer
Page 146 and 147: 5. Utilizando a fórmula de Taylor
Page 148 and 149: Dizemos que uma série convergente,
Page 150 and 151: ( Teorema de Riemann.) Prove que se
Page 152 and 153: ou aindaVemos, assim, que se a n fo
Page 154 and 155: (Observe que para todo ∊ > 0 dado
Page 156 and 157: Dos teoremas 1 e 2 resulta a seguin
Page 158 and 159: 5. Seja T: R → R uma função. Di
Page 160 and 161: Suponhamos que a sequência a k sej
Page 162 and 163: eSoluçãoa) e ix + e 2ix + e 3ix +
Page 164 and 165: Temos, então, a identidade de Abel
Page 166 and 167: 3. É convergente ou divergente? Ju
Page 168 and 169: 6.1Sequência de Funções. Converg
Page 170 and 171: Para |x| > 1 e x = -1, a sequência
Page 172 and 173: que f n é dada porconverge a f em
Page 174 and 175: Exercícios 6.11. Determine o domí
Page 176 and 177: A condição “para todo x ∈ B,
Page 178 and 179: Exemplo 2A sequência f n , n ≥ 1
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Deste modo, a sequência de funçõ
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dado ε > 0, existe n 0 tal queSegu
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b) f n , n ≥ 1, converge uniforme
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em que cada f n é suposta contínu
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(Sugestão: Utilize a Observação
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Segue daí que, para todo x ∈ B,
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De e segue .Demonstração do teore
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todos os x para os quais a sérieco
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séries numéricas, dado ε > 0, ex
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Soluçãoa) Para todo x ∈ R e par
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Exercícios 7.31. Verifique que a s
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em queedenomina-se série de Fourie
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Como a convergência é uniforme em
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DemonstraçãoFica a cargo do leito
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6. Considere a função f dada pora
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Faça você o gráfico de f 0 + f 1
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Confira!) TemosPara n > m,que é m
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Logo,
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DemonstraçãoSendo, por hipótese,
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DemonstraçãoSeja A o conjunto de
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desde que o limite exista, finito o
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Soluçãoé uma série de potência
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Comosão convergentes (verifique),
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8.3 Continuidade, Integrabilidade e
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DemonstraçãoVeja Exercício 2 des
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e, portanto,para todo n ≥ 1. Segu
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em que os a n são coeficientes a s
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Ache uma fórmula para calcular a s
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Exercícios do Capítulo1. Mostre q
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7. Avalie com erro inferior, em mó
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c) Verifique que a sérietem raio d
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(Sugestão: Veja Exercício 16.)d)
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(Sugestão: Utilize a fórmula Tayl
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SoluçãoPara todo x ∈ [−π, π
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Portanto,Conclusão:De modo análog
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pois x cos nx é uma função ímpa
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Exemplo 4Determine a série de Four
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Temosem quePortanto,Da mesma forma,
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3. Seja Prove que a série de Fouri
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eAs funções f 1 e f 2 são de cla
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em quePortanto,MaseLogo, existe M 1
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eentãoVamos, agora, demonstrar o s
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■Exemplo 1Tendo em vista o Exempl
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Exemplo 2Utilizando o Exemplo 1, de
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para todo x em [0, π], sendo a con
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Mostre que a série de Fourier de g
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Observe queTendo em vista o que vim
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Prove que f (−π) = f(π).4. Seja
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sendo a convergência uniforme em R
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a)b) Seja a ∈] 0, π[ um real dad
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Além disso, a convergência será
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Esboce o gráfico da função F : R
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SoluçãoPrecisamos verificar que s
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Conclusão: y = e (x2 - 1)/2 , x qu
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pois y′(x) = 0 e y(x) = a. Supond
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3. Determine, caso existam, as solu
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em que as integrais estão indicand
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econstanteé a família de todas as
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Soluçãox(t) = 0 é a única solu
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água no tanque no instante t será
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Segue quePara t = 0, v = 2, assimPa
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x(t). TemosDe v(0) = 0, resulta k =
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tangência. Sabendo que determinef.
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que é, também, uma equação de v
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em que as integrais indicam primiti
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Soluçãoa) É uma equação linear
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Lembrando queisto significa, se hou
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4. Um objeto aquecido a 100 °C é
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Equação de BernoulliPara y ≠ 0,
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Exercícios 10.51. Resolva as equa
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Consideremos a equaçãoVeremos, a
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Integrando,Como para cada real k 1
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variável independente x.Exemplo 2
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Uma partícula de massa m = 1 deslo
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e, portanto, Segue que o movimento
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(Conservação da energia) Suponha
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então x = x(t), com t em R, será
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Segue que para cada existe um únic
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possível obter vários resultados
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y = y(t), com t = t(x), será solu
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Sendo P(x, y) e Q(x, y) de classe C
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é uma solução do problema.Exempl
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que satisfaz a condição inicial y
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Resolvendo esta equação do 2 o gr
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xy + y 2 = c, c constante.Vejamos,
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SoluçãoAs trajetórias ortogonais
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é solução da equação x dx + 2y
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P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.Secom h
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Integrando a 1 a equação em rela
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Basta, então, tomar h tal queou se
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Exercícios 10.91. Determine um fat
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7. Resolva pelo processo que achar
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será solução da equação de var
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Portanto, o movimento da partícula
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(x - y) 2 + y 2 = 1.Como estamos in
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Determine uma família de curvas qu
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Sendo k = 0, pois x(0) = 0, resulta
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ou seja,Exemplo 7Seja f(x) uma fun
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Exemplo 8Seja θ = θ (t) solução
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SoluçãoMultiplicando a 1 a equaç
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SoluçãoComo vimos, a partícula d
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ou seja,Daí,1 + x 2 = e 2t - 2xe t
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será solução de .Observação. N
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1), podemos trabalhar com u > 0. Di
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Considere a equaçãoDetermine uma
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Seja ρ = k(1 - cos θ), θ ∈ R.
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movimento regido pela equaçãoSupo
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(x + 2y′)y″ = 0.Determine, ent
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a) Verifique queé solução.b) Det
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b) Determine uma solução y = y(x)
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em que Ω é o semiplano y > 0; m,
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11.1 Equações Diferenciais Linear
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Seja t 0 um real fixo em I. Comoé
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é a carga, no instante t, no capac
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em que L (Henry) é a indutância,
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Como ẋ(0) = 0 e ẋ = Ae -t - 2 B
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A solução geral é, então,x = e
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mola, quando esta se encontra em se
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para todo t ≥ 0; logo, a energia
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A figura abaixo mostra o gráfico d
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Se α = 0Consideremos novamente a e
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2. Esboce o gráfico da solução q
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10. Uma partícula de massa m = 1 d
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. A solução geral será, então,E
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em que a 1 , a 2 , a 3 e a 4 são r
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Tendo em vista a 1 a equação, res
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Antes de passarmos ao próximo exem
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λ 4 + 16 = 0,cujas raízes, como v
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2. Considere no plano um campo de f
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Consideremos a equação linear, de
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Exemplo 1Determine a solução gera
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será do grau 2 (verifique). Vamos,
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λ = 0 (raiz dupla) é a única rai
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será constante. Como toda função
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que é um polinômio de mesmo grau
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Exemplo 8Determine a solução gera
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Consideremos a equaçãoe suponhamo
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SoluçãoO 2 o membro é da formaem
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SoluçãoA equação do movimento
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Logo, n 1 = 0 e. Assim,é uma solu
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resultaAs raízes da equação cara
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A solução geral é entãoTemos:po
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2. Considere a equaçãoProve que s
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constantes positivas. Resolva a equ
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em quecaracterística forem reais e
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Resolvendo o sistema pela regra de
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11.6 Determinação de Solução Pa
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Como f(t) = 0 em ]0, a[, resultaCom
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Tendo em vistae pelo fato de M ≥
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Logo, para s > γ,b) Fica a seu car
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Vemos, pela tabela, que a função
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ou seja,(Pela tabela, a transformad
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Por outro lado, tendo em vista que(
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Vamos mostrar que, para um s sufici
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12.1 Sistema Homogêneo de Duas Equ
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A expressão acima nos diz que ses
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em que o 1 o membro é o determinan
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SoluçãoeA solução geral é ent
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são duas soluções de, que condi
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do sistema. Então, para todo t rea
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Sendo x 1 (t) e x 2 (t) soluções
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As raízes da equação caracterís
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Por sua vez, este sistema é equiva
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mesmo se supusermos λ complexo e p
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u + λυ + λut = Aυ + tAu.Daí re
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Sejam λ 1 e λ 2 autovalores reais
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Exemplo 5Suponha queé um autovetor
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autovetores associados, respectivam
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pois (A − λ 2 I) υ = 0 e (A −
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e a solução geral éem que λ 1 =
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associados a λ 1 = 1.este sistema
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que é a solução encontrada anter
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e, portanto,DaíSegue quesistema da
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Este sistema é equivalente a (λ =
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SoluçãoVamos, agora, determinar u
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2. Determine a solução que satisf
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for uma solução deste sistema, en
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Prove que a 11 + a 22 = 0 é uma co
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Sabe-se que, no instante t = 0, x (
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Calcule a derivada da função dada
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ououA segunda forma acima só poder
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for equivalente a uma única equaç
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Neste caso, os autovetores associad
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em que é um autovetor de λ 1 .Vej
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se primeiro w procedendo-se da segu
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SoluçãoOs autovalores são: λ 1
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Exemplo 3ResolvaSoluçãoOs autoval
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é equivalente a (λ 2 = 1)−m + n
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Assim, o autovalor λ 2 = 1 fornece
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Então, os autovetores de λ 1 são
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Exemplo 7ResolvaSoluçãoOs autoval
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Assim, υ é solução do sistema(A
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Da 3 a equação, obtemosA soluçã
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ouou(A prova é um belo exercício
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Desenhe a trajetória da partícula
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homogêneas e com coeficientes cons
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Uma solução particular é dada po
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A solução geral éExemplo 2Resolv
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Determine a solução geral dee fa
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o que significa que, quando t →
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Substituindo 7 e 8 em 4 e tendo em
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é uma solução particular da equa
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Faça um esboço das trajetórias d
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Por outro lado, a equação y″ =
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y = A ln (−x) + B.Vamos agora enu
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(1 + x 2 ) y″ + 2xy′ = 0que sat
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10. Suponha que y = f (x), x ∈ I,
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teorema nos diz que se f (x) e g (x
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(x) ≠ 0.O corolário acima nos di
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então α = β = 0.Dizemos que f e
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Se, para todo x ∈ I, g (x) = 0, e
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de f e g serem linearmente independ
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é a solução geral de .Demonstra
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independentes.y = Ae x + Bx, x > 1
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3. Determine uma equação y″ + p
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é, também, solução de . (Observ
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SoluçãoVamos tentar uma solução
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e, portanto,Por outro lado, φ 12(x
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ou seja,Para k ≥ 3,Substituindo e
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Fazendo n = u′, obtemosque é uma
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Assim,é solução. Dee da observa
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Para α = 3 e m = 1 temos uma ident
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Temos, então, a solução particul
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b) Mostre que é razoável tentar-s
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Mostre que a solução geral de x 4
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20. Considere a equação y″ + p
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I 2 contendo x 0 , tais queφ 1 (x
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que é uma equação diferencial ex
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Temos as soluçõeseObserve que, pa
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Temos as soluçõesObserve quee
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interceptam-se no ponto (-c, 0).y =
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Consideremos a equaçãoy′ = x 2
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SoluçãoSejaTemos g(0) 0. Basta pr
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ou seja,Logo, φ é uma função í
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Observe que o gráfico deObservaç
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A função constante y = 0 é solu
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e, portanto,Conclusãoé a família
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Exercícios 14.11. Resolva a equaç
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com x 0 ∈ I. Prove que y = φ(x),
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O objetivo deste capítulo é desta
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y 2 - 1 = 0 ⇔ y = ±1.Assim, y =
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é = um fator integrante para . (Ve
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Exemplo 2ResolvaSoluçãoA função
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SejaDetermine a solução que satis
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Logo, a solução geral deéem que
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em que a e b são constantes não n
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com u = u(x). Temos y ' = u + xu '
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(Esta condição é equivalente aNe
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Façamos a mudança de variávelu =
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que é uma equação de variáveis
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A função x = x(t) é estritamente
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que satisfaça as condições inici
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sistemaObserve que se y = y(x), x
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em queSeja, então, y = y(x), x ∈
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em que ẋ = v.Exemplo 3Considere a
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(Sugerimos ao leitor resolver o pro
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é uma solução da equação dada.
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eSubstituindo eme simplificando, re
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para todo x em I. Como estamos supo
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dada porNestas condições, o gráf
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(Observe que, para todo n ≥ 1, o
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para todo x ∈ [x 0 - r, x 0 + r].
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e, portanto,Para podermos permutar
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y 1 (x 0 ) = y 2 (x 0 ) = y 0 .Nest
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em [x 0 - d, x 0 + d] e, portanto,y
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B.1Demonstração do Lema da Seçã
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é constante. Como , resulta que, p
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Se, para todo natural n,f (-π) = f
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em ]x 0 - δ, x 0 + δ[, segue quel
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e, portanto,Segue que, para todo x
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Logo, a sérieconverge uniformement
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[a, π], com 0 < a < π, e, portant
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Seja h : [-π, π] → R dada porCo
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eSegue que, para todo x ∈ [-π,
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■Fica a cargo do leitor pensar na
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resulta que a sérieé duas vezes d
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C.1Lema de KummerO objetivo deste a
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com H finito ou infinito. Nestas co
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Neste caso, o critério de Kummer
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d) Considere a sequência de interv
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Exercícios 2.2
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Exercícios 3.21. a) Convergenteb)
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Exercícios 3.5CAPÍTULO 4Exercíci
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CAPÍTULO 6Exercícios 6.1Exercíci
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Como cada s n é contínua em R (s
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CAPÍTULO 9Exercícios 9.1Exercíci
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Exercícios 10.4
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Exercícios 10.6
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Exercícios 10.8
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Exercícios 10.11
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Exercícios 11.2
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Exercícios 11.4
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CAPÍTULO 12Exercícios 12.3
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Exercícios 12.4
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CAPÍTULO 13Exercícios 13.17. Suge
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9. Verifica-se por inspeção que y
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1. APOSTOL, T. M. Análisis matemá
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18. _________________ . Oscillating
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Os Materiais Suplementares do livro
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Capítulo 3Capítulo 4Capítulo6Cap
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Capítulo 4Capítulo 5Termos Positi
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Agora, seja ε = 1/2, e considere o
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em que a n e b n são sequências c
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Comoe g é uma função contínua,
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SoluçãoAssuma queem que a ∈ R.
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para todo r > 0. Logo, a sequência
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SoluçãoDe fato, considere a funç
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Indutivamente,Logo,Dado ε > 0, pod
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Capítulo Séries Numéricas21. Cal
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Sabemos queLogo,3. Mostre que a sé
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5. Suponha que f :[0, ∞) → (0,
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Observe que a equação acima só
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10. Apresente uma série convergent
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O mesmo processo pode ser usado par
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Assim, s n é crescente e limitada,
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Capítulo3Critérios de Convergênc
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para todo k ≤ 1.Além disso,e ass
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é divergente.SoluçãoAssim, pelo
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SoluçãoPelo critério de compara
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Assim, pelo critério da razão, a
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e portanto a série converge pelo c
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Capítulo4Séries Absolutamente Con
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SoluçãoObserve queporém não pod
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Como α > 2, então α /2 > 1, e po
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Assim7. Seja a um número real. Det
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SoluçãoSabemos que, se |r|< 1, en
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Com isso, temos que12. Calcule a so
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Agora, seentão, a n é uma série
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converge, concluindo a prova.16. Se
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CapítuloCritérios de Cauchy e de
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Utilizando o teorema do confronto,
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Sejae considere λ < 1. Mostre que
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Logo, T é contínua em x 0 . Pela
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Agora, a n = π/2 arctg(n) é uma s
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Como a n é uma sequência decresce
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l 2 - {(b n ); (b n ) é uma sequê
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Capítulo Sequências de Funções6
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converge uniformemente em R. Verifi
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para todo x ∈ [a, b]Concluímos a
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uniformemente em B.SoluçãoUtiliza
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A afirmação é falsa. Tome. é co
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14. Dê exemplo de uma sequência d
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Capítulo Série de Funções71. En
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Como é uma série absolutamente co
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Observe que seconverge uniformement
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é uniformemente convergente em R.
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Por hipótese, s k converge uniform
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Como f é uma função par, então
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para todo x ∈ R.Em particular, se
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12. Mostre que se a série converge
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para todo x ∈ I.Agora, utilizando
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para todo x ∈ [x 0 - 1, x 0 +1].C
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para cada x ∈ R.Pode ser mostrado
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SoluçãoPrimeiramente, observe que
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SoluçãoComo os termos =são não
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ConsidereDeste modo, calculemos o r
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É fácil ver que o raio de converg
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Contudo, como | x | < 1, podemos ve
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ConsidereContudopara todo | x | < 1
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para todo | t | < 1. AssimDeste mod
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ou seja,ou aindaDeste modo, temos q
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Utilizando a dica, temos que f (x)
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CapítuloIntrodução às Séries d
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2. Determine a série de Fourier da
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Portanto, a série de Fourier de f
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Como f(-u) = - f(u), temos queLogoe
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7. Seja f:[-π, π] → R uma funç
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pois h(x)cos(nx) é uma função í
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9. Encontre a soma deDica: Utilize
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Por fim, f(-π) = 0 = f(π).Logo, p
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se f for descontínua em x.Observe
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se f for descontínua em x.Segue qu
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Como f é uma função periódica c
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Logoe assimPortanto, a série de Fo
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17. Seja f n :[-π, π] → R uma s
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Capítulo10Equações Diferenciais
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diferencial se comporta com relaç
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Observe que se α < 0 temos duas so
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Além disso, como γ(0) = (0, c), t
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4. Resolva a equação diferenciale
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Logo6. Resolva a equação diferenc
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em queDe fatoFazendo a mudança de
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9. Considere a equaçãoem que k e
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Integrando, obtemosLogoem que K 1
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em que K é uma constante. Escolha
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é uma função tal queE, portanto,
Page 986 and 987:
e portantoé exata.15. O movimento
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Integrando a equação, obtemosAssi
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Portanto, z satisfaz a equação de
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Assim,2. Esboce o gráfico da solu
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SoluçãoMultiplicando ambos os lad
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Observe que, no instante t = 0, a p
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7. Seja a ≠ 1. Calcule a soluçã
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Tem-se duas equações característ
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que tem raízesLogo, a solução ge
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em que a, b, c ∈ R.SoluçãoAs ra
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com A, B ∈ R. A equação caracte
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15. Seja b ∈ R um número não nu
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Portanto,ePela tabela de transforma
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em quePela tabela de transformadas,
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em que k 1 , k 2 ∈ R.2. Resolva o
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Determine a solução geral do sist
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(A − πI) v 2 = 0em queé um veto
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logo, 3x = y. Então, os autovetore
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em queé um vetor de R 2 . Desta fo
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Portanto, as soluções do sistema
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autovetor particular éAutovetores
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11. Determine a solução geral da
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Agora, observe quesão soluções p
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e a equação é equivalente ao sis
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Logo, uma solução particular é d
Page 1036 and 1037:
Portanto, θ(t) = θ(t 0 ) + t, e p
Page 1038 and 1039:
Portanto, X(t) = e Bt X(0) é solu
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SoluçãoO primeiro passo é impor
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SoluçãoSuponha que α , β ∈ R
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logo W(x) ≠ 0 para todo 0 < x <
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consequentemente,Então, devemos pr
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SoluçãoDevido ao formato da equa
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12. Encontre a solução geral para
Page 1052 and 1053:
com x > 0.SoluçãoSabe-se que a so
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Portanto, a solução geral écom A
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com A, B ∈ R.Volume 4Capítulo14T
Page 1058 and 1059:
Verifique que as hipóteses do teor
Page 1060 and 1061:
em que x ∈ I e y (x) > 0 para tod
Page 1062 and 1063:
6. Considere a equaçãoVerifique q
Page 1064 and 1065:
Impondo a condição y(0) = 1, segu
Page 1066 and 1067:
Fazendo f (x , y) = e y + e 2y + c,
Page 1068 and 1069:
e
Page 1070 and 1071:
Portanto,e
Page 1072 and 1073:
Portanto,14. Seja φ n a sequência
Page 1074 and 1075:
Uma vez que são contínuas em Ω =
Page 1076 and 1077:
Sabe-se queSendo, segue quePortanto
Page 1078 and 1079:
do problema considerado.17. Determi
Page 1080 and 1081:
para todo n > 0. Portanto, para tod
Page 1082 and 1083:
2. Determine as soluções dos segu
Page 1084 and 1085:
Impondo a condição y(π) = 0, obt
Page 1086 and 1087:
em que a , b ∈ R e a > 0 tem a pr
Page 1088 and 1089:
Finalmente, y (t) = z (t) + 2, logo
Page 1090 and 1091:
em que k ∈ R é uma constante. Se
Page 1092 and 1093:
e, assim,Faça v = zu, daíEssa úl
Page 1094 and 1095:
consequentemente,Portanto,em que c
Page 1096 and 1097:
em que c ∈ R é uma constante.Imp
Page 1098 and 1099:
Logo, a equação de Riccati associ
Page 1100 and 1101:
O conjunto dos números racionais
Page 1102 and 1103:
M1) Associatividade da multiplicaç
Page 1104 and 1105:
Note que o grau do produto é a som
Page 1106 and 1107:
Do mesmo modo, multiplicamos 0 por
Page 1108 and 1109:
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n -
Page 1110 and 1111:
Portanto, as raízes da equação a
Page 1112 and 1113:
Uma inequação é dita de 1 o grau
Page 1114 and 1115:
inequação devemos analisar cada u
Page 1116 and 1117:
intervalos: ] - ∞, -4[, ] -4, 5[
Page 1118 and 1119:
Além destas operações, definimos
Page 1120:
ax 2 + bx + c = 0, ou seja, f (x) =
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