Um Curso de Calculo - Vol

Contudo, como | x | < 1, podemos ver que
Além disso, o raio de convergência da série acima é R = 1. Pelo teorema de derivação termo a
termo, se | x | < 1, temos que
Desta forma,
Além disso, temos que
Assim: f ′(0) = f″(0) = f″ ′(0) = 0.
Para n ≥ 4, então escreva n = 4k + r, em que k ∈ N, r ∈{0, 1, 2, 3}.
Se r ∈ 1, 2,3, então f (n) (0) = 0.
Se r = 0, então f (n) (0) = (–1) k (n + 1)n ! = (– 1)k (n + 1)!.
Assim, f (444) (0) = (–1) 111 (445)! = –445!.
11. Encontre uma representação por série de potências da função f (t) = ln(1
+ t), em que | t | < 1. Calcule f (n) (0), para todo n ∈ N.
Solução
Observe que