Um Curso de Calculo - Vol

Verifique que as hipóteses do teorema de existência e unicidade de
soluções estão satisfeitas. Calcule a aproximação por polinômio de
Taylor, até ordem 4, da solução que satisfaz y(0) = 1.
Solução
Como
são contínuas em R, segue que o teorema
de existência e unicidade de soluções se aplica. Seja φ(x) a solução que satisfaz φ(0) = 1. Então, o
polinômio procurado é dado por
Por hipótese, φ(0) = 1, logo resta calcular as outras derivadas. Sendo φ(x) solução da equação
dada, segue que
Avaliando em x = 0, obtém-se φ ′(0) = φ′′(0) = 1, φ′′′(0) = 0 e φ (4) (0) = −3. Portanto,
4. Considere a equação