Um Curso de Calculo - Vol

Solução
Assuma que
em que a ∈ R. Dado ε > 0, existe N 0 ∈ N tal que
Agora, considere n, m ≥ N 0 . Pela desigualdade triangular, temos que
Como n, m ≥ N 0 , por 1, temos que
Com isso,
Concluímos que
e portanto a n é uma sequência de Cauchy.
Pela primeira parte, basta mostrar que
é uma sequência convergente.
Considere Como já que o grau do
denominador é maior do que o grau do numerador, temos que
pela continuidade da função exponencial.
Com isso, vemos que e portanto a n é uma sequência de Cauchy.
10. Suponha que b n
≥ n 2 + 1, para cada n ∈ N, e mostre que a sequência
b n é divergente.