Cálculo Diferencial e Integral I

dy
utilizaremos o método de derivação implícita. Assim, para determinar y ′ = em
dx
termos de x e y derivamos em relação a x , com o auxílio da regra da cadeia e regra
dy
do produto, ambos os lados da equação dada e isolamos y ′ = em função de x e y .
dx
Vejamos,
d
dx
4 2 d
[ 3y
− x sen y] = [ 4 − 4x]
⇒ ( 12y
3
3
2
⇒ 12y
⋅ y′
− ( 2x
⋅ sen y + x ⋅ cos y ⋅ y′
) = − 4
dx
2
2x
⋅ sen y −4
− x ⋅ cos y)
y′=
2x
⋅ sen y −4⇒
y′=
3 2
12y
− x ⋅ cos y
Daí, o coeficiente angular da reta tangente à curva dada no ponto
y′ ( 1 ) = 4 . Logo, a equação da reta tangente é dada por y − 0 = 4 ( x − 1)
⇔ y = 4x
− 4 .
Já o coeficiente angular da reta normal à curva dada no ponto
( 1,
0)
( 1,
0)
1
1 1
e, portanto, a equação da reta normal é dada por y − 0 = − ( x − 1)
⇔ y = − x + .
4
4 4
vale
é
1
−
4
3.5 Derivadas de Ordem Superior
Se f é uma função derivável, então f ′ também é uma função que pode ter
sua própria derivada. Se f ′ for derivável, a derivada de f ′ é denominada derivada
segunda de f , e representada pelo símbolo f ′
. Daí,
d
f ′′( x)
= ′ x
dx
[ f ( )]
dy′
d
notação
⎛ dy ⎞ d y
ou y ′′ = = ⎜ ⎟ = .
dx dx dx
2
⎝ ⎠ dx
2
De modo análogo, podemos definir a derivada de
terceira de f , representada por f ′′′
.
f ′
, denominada derivada
d
f ′′′ ( x)
= ′ x
dx
[ f ′(
)]
2
3
dy′′
d ⎛ d y ⎞ notação
d y
ou y ′′′ = = ⎜ ⎟ =
2
3
.
dx dx
dx
⎝ ⎠ dx
Continuando o processo, obtemos derivadas de ordem superior de
f
. A
( n)
d y
derivada de ordem n ou enésima derivada de f , representada por y = , é
n
dx
obtida derivando a derivada de ordem n − 1,
ou seja,
n
100