Cálculo Diferencial e Integral I

Exemplo 3: Determine a área limitada pela curva y = sen x e o eixo dos x , de
0 até 2π
.
Solução: Como y = f ( x)
= sen x é uma função contínua em [ 0,2π
] , positiva no
intervalo ( 0, π ) e negativa em ( π ,2π
) , então a área procurada, que denotaremos
por A , é dada por
b
∫
A = f ( x)
dx = sen x dx = sen x dx +
∫
− sen x dx =
a
= [ −cos
x]
π
0
2π
∫
0
+ [cos x]
2π
π
π
∫
0
2π
= (1 + 1) + (1 + 1) = 4
π
Portanto, a área é
4
unidades de área.
2
Exemplo 4: Determine a área limitada pelas curvas y = x e y = x + 6 .
2
Solução: Sejam f ( x)
= x e g( x)
= x + 6 . Inicialmente, vamos determinar a
interseção entre as curvas dadas. Vejamos,
x
2
1±
1+
24 1 5
= x + 6 ⇒ x − x − 6 = 0 ⇒ x = ⇒ x = . Logo, as curvas se
2
2
2 ±
interceptam nos pontos de abscissa x = −2 e x = 3 . Note que
g( x)
≥ f ( x),
∀x
∈[
−2,3]
. Então a área procurada, que denotaremos por A , é dada
por
A =
3
2
[ ( ) − ( )] = [ + 6 −
∫
g x f x dx
∫
x x ]
−2
27
= +
2
22
3
=
125
6
3
−2
2
⎡ x
dx = ⎢
⎣ 2
3
x ⎤
+ 6x
−
3
⎥
⎦
3
−2
⎡9
⎤ ⎡4
8⎤
=
⎢
+ 18 − 9 12 =
2 ⎥
−
⎢
− +
⎣ ⎦ ⎣2
3⎥
⎦
Portanto, a área é
125
6
unidades de área.
Observação: Em geral, a área A limitada pelas curvas y = f (x)
e y = g(x)
e
pelas retas x = a e x = b , é dada por A = f ( x)
− g(
x)
dx
∫
a
b
190