Cálculo Diferencial e Integral I

g′
( 1)
=
−
g(
x)
− g(
1)
lim
x −1
x→1
−
=
x→1
−
2
− x
lim
+ 2x
−1
x −1
=
x→1
−
2
− ( x −1)
lim
x −1
= lim − ( x −1)
= 0
x→1
−
e
g′
( 1)
=
+
g(
x)
− g(
1)
lim
x −1
x→1
+
= lim
x→1
+
1
− 1
x
=
x −1
1−
x
lim
x(
x −1)
x→1
+
=
− ( x −1)
lim
x(
x −1)
x→1
+
⎛ 1 ⎞
= lim ⎜ − ⎟ =
x→1
+
⎝ x ⎠
−1
Como as derivadas laterais existem, mas são diferentes, então não existe g′(1) .
Daí, g não é derivável em a = 1. Note que, neste exemplo, g é contínua em a = 1.
Figura 3: Gráfico de
g
Observação 4: Nos exemplos 7 e 9 vimos que as funções
f
e
g
, definidas por
⎪⎧
2
− x + 2x
f ( x)
= x e g(
x)
= ⎨ −1
⎪⎩ x
se
se
x ≤ 1
,
x > 1
não são deriváveis em a = 0 . Porém, essas funções são contínuas neste ponto.
Isto mostra que uma função pode ser contínua em um ponto sem ser derivável neste
ponto. Portanto, uma função ser contínua em um ponto não implica ser derivável
neste ponto. A recíproca, entretanto, é verdadeira conforme o resultado a seguir:
Teorema 1: Se f for derivável em a então f será contínua em a .
Demonstração: Se f é derivável em a então f ′(a)
existe, isto é,
f ′(
a)
= lim
x→a
f ( x)
− f ( a)
x − a
75