Cálculo Diferencial e Integral I

Demonstração: Com efeito, dado C uma constante qualquer, se F é uma
primitiva de f em um intervalo aberto I , então sabemos pela definição de
primitiva que F′ ( x)
= f ( x)
, ∀x
∈ I . Assim, G′ ′
( x)
= ( F(
x)
+ C) = F′
( x)
= f ( x)
, ∀x
∈ I ,
ou seja, G = F + C também é primitiva de f em I . Isto conclui a demonstração.
Observação 2: Uma questão que precisa ser respondida é a seguinte: Será que
toda primitiva de uma função f é da forma G ( x)
= F(
x)
+ C , onde F é uma
primitiva qualquer de f e C uma constante qualquer? Isto é, digamos, por exemplo,
que tenhamos f ( x)
= 2x
, sabemos que F ( x)
= x
2 + C , onde C é uma constante
qualquer, é uma primitiva de f . A questão a ser respondida é a seguinte: Não
haveria outra função G , bem diferente de F , tal que G ′ = f . Para respondermos a
esta questão precisaremos da conseqüência do teorema 3 vista na seção 4.3. Para
comodidade do leitor, vamos repetir o enunciado e demonstração desta conseqüência
no teorema que segue.
Teorema 2: Seja f uma função derivável em um intervalo aberto I , tal que
f ′( x)
= 0,
∀x
∈ I , então f é constante em I .
Demonstração: Consideremos x, y ∈ I tais que x < y . Como f é uma função
derivável em I , em particular, f é contínua em [ x , y]
e derivável em ( x,
y)
, então
pelo Teorema do Valor Médio, existe z ∈ ( x,
y)
, tal que
f ′(
z)
=
f ( y)
− f ( x)
.
y − x
Como f ′( x)
= 0,
∀x
∈ I , então f ′( z)
= 0 e assim teremos
f ( y)
− f ( x)
= 0 ,
y − x
ou seja, f ( y)
− f ( x)
= 0 ⇒ f ( y)
= f ( x)
. Pela arbitrariedade de x,
y ∈ I , resulta
que f é constante em I . Isto conclui a demonstração.
Agora estamos em condições de responder a questão proposta anteriormente. É
o que fará o Teorema que se segue.
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