Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Exemplo 2: Vejamos alguns exemplos, onde
(i)
(ii)
∫
2
2x dx = x + C
∫
cos x dx = sen x + C
1
(iii)
∫
dx = x + C
2 x
C
é uma constante qualquer.
5.2 Propriedades da Integral Indefinida
Veremos agora algumas propriedades da integral indefinida que nos permitirá
obter integrais de funções mais complexas.
Teorema 1: Sejam f , g : I ⊆ RI → RI funções e K uma constante. Então:
P1) ∫
f ( x)
dx k∫
P2)
k = f ( x)
dx
∫[
( x)
g(
x)]
dx =
∫
f ( x)
dx ±
∫
f ± g(
x)
dx
Demonstração:
P1) Sejam F uma primitiva de f ( isto é, F ′ = f ) e K uma constante. Então
KF é uma primitiva de Kf , uma vez que ( KF )′ = KF′
= Kf . Desta forma, temos
que
∫
k f x)
dx = k F(
x)
+ C = k(
F(
x)
+ C ) = k f ( x)
dx
( 1
P2) Sejam F e G primitivas de f e g , respectivamente. Então, F + G é
uma primitiva de f + g , uma vez que ( F + G)′
= F′
+ G′
= f + g . Portanto,
∫
[ f ( x)
+ g(
x)]
dx = [ F(
x)
+ G(
x)]
+ C = [ F(
x)
+ G(
x)]
+ C
= [ F(
x)
+ C ] + [ G(
x)
+ C
1
2
] =
∫
f ( x)
dx +
∫
∫
g(
x)
dx
A demonstração com o sinal de menos é idêntica e assim a demonstração está
concluída.
1
+ C
2
157
Change language