Cálculo Diferencial e Integral I

áreas retangulares aproxima-se do que entendemos intuitivamente como sendo a
área da região plana S .
Definição 1: Seja f uma função contínua e não negativa em [ a , b]
curva y = f (x)
, de a até b , é definida por
A =
lim
máx ∆ x i →0
S
n
=
lim
n
∑
máx ∆ x i →0
i=
1
f ( c ) ∆x
onde c
i
é um ponto aleatório do intervalo x − , x ] , para cada i = 1,2,
,
n .
[ i 1 i
i
i
. A área sob a
Observação 1: Podemos provar, não o faremos aqui neste curso, que o limite
da definição anterior existe e é um número não negativo.
Definição 2: Seja f uma função definida no intervalo [ a,
b]
e seja P uma partição
qualquer de [ a,
b]
. A integral definida de a até b , denotada por , é dada
∫ b
f ( x)
dx
n
∑
b
∫ a
máx∆
x i →0
i=
1
por f ( x)
dx = lim f ( c ) ∆x
, desde que o limite exista. Se f ( x)
dx existe,
dizemos que f é integrável em [ a,
b]
.
i
i
a
∫ b
a
Observação 2: O símbolo
foi introduzido por Leibniz e é chamado de sinal
de integração. Na notação de integral definida, f ( x)
dx , os números a e b são
denominados limites de integração, mais precisamente, a é denominado limite
inferior e b de limite superior. Além disso, quando f ( x)
dx é integrável em [ a,
b]
,
temos que
∫ b
a
f ( x)
dx
∫
é um número real e não depende da variável utilizada para
b
b
b
integração, desta forma podemos escrever, , isto é,
∫
f ( x)
dx =
∫
f ( t)
dt =
a
a ∫
f ( w)
dw
a
podemos usar qualquer símbolo para representar a variável independente.
∫ b
a
∫ b
a
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