Cálculo Diferencial e Integral I

5.10 Teorema Fundamental do Cálculo
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma conexão entre os dois
ramos do cálculo: o cálculo diferencial e o cálculo integral. O Cálculo Diferencial
surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema
aparentemente não relacionado, o problema da área. O Teorema Fundamental do
Cálculo dá a precisa relação inversa entre a derivada e a integral. Foram Newton e
Leibniz que exploraram essa relação e usaram-na para desenvolver o cálculo como
um método matemático sistemático. Em particular, eles viram que o Teorema
Fundamental do Cálculo os capacitou a computar áreas e integrais muito mais
facilmente, sem que fosse necessário recorrer à definição diretamente.
Teorema 1: Seja f uma função contínua em [ a,
b]
, então a função G :[ a,
b]
→ RI ,
definida por = , é derivável em e
∫
x
x
d
G ( x)
f ( t)
dt
[ a , b]
G′ ( x)
= f ( t)
dt = f ( x)
,
a
dx∫a
∀x ∈[ a,
b]
.
Demonstração: De fato, dado
x ∈[ a,
b]
, temos
x+
h
x
x
x+
h
x
G(
x + h)
− G(
x)
∫
f ( t)
dt −∫
f ( t)
dt
∫
f ( t)
dt +
∫
f ( t)
dt −∫
f ( t)
dt
a
a
a
x
a
G′ ( x)
= lim
= lim
= lim
h→0
h
h→0
h
h→0
h
=
∫ x+
f h ( t)
dt (*)
(
f ( z)
h
**)
x
= lim = lim = lim f ( z)
= f (x)
h→
0 h h→0
h h→0
(*)
f [ a , b]
[ x , x + h]
Como é contínua em , em particular o será em , então pelo Teorema 7,
existe z ∈ ( x,
x + h)
x
tal que f h t dt f z x h x f z h .
∫ +
( ) = ( )( + − ) = ( )
x
(**)
z x x + h z → x h → 0
f lim f ( z)
= f ( lim z)
= f ( x)
Além disso, como está entre e , segue que quando . Então
pela continuidade da função , temos que .
h→0
h→0
Note que se x for a ou b , considere os limites laterais adequados. Isto
completa a demonstração.
Agora, estamos em condições de estabelecer o principal teorema do cálculo
integral denominado Teorema Fundamental do Cálculo.
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