Cálculo Diferencial e Integral I

0
2 ⎛ 2 ⎞
x 7
2
2
⎜ −
7
7 2
2
⎟
−
x −
1 2 ( ∗)
⎝ x
7
lim
= lim
⎠
= lim ⋅
x
= 0 ⋅ =
x→−∞
4
2
3x
− 10x
x→−∞
10
4 ⎛ 10 ⎞ x→−∞
x
3
x 3
3 −
⎜ −
3
⎟
3
⎝ x ⎠
x
x + 1 + x > 0 ⇒
1
> 0 , ∀ x > 0 .
x + 1 + x
(∗)
1 10
Do teorema anterior segue que e
2 3
x x
tendem a zero quando x se torna muito
negativo. Além disso, utilizamos também as propriedades de limites dadas na seção 2.3.
Observação 5: O Teorema do Confronto é também válido se substituirmos
x → a por x → + ∞ ou x → −∞
. Vejamos os exemplos.
sen x
Exemplo 4: Para achar lim não podemos utilizar a propriedade P ,
x→+∞
x
5
pois o limite do denominador não é um número real ( x→ +∞
x = + ∞ ). Além disso,
observe também que não existe lim sen x , ou seja, ∄ lim sen x (Para se convencer
x →+∞
x →+∞
deste fato, observe o comportamento do gráfico da função f ( x)
= sen x , quando x
cresce indefinidamente).
sen x
Para resolver lim
x→ +∞ x
devemos utilizar o Teorema do Confronto. Vejamos,
sabendo que − 1 ≤ sen x ≤ 1
1 sen x 1
para todo x ∈ IR
, tem-se que − ≤ ≤
x x x
para todo
x > 0 . Como 1 − = 0 e , segue que .
→+∞
x
1 0
sen x
=
lim
x →+∞
x
x x→
+∞ x
Exemplo 5: Para calcular lim ( x + 1 − x ) façamos
x→+∞
x + 1 + x x + 1−
x
1
lim ( x + 1 − x ) = lim ( x + 1 − x ) ⋅
= lim
= lim
.
x →+∞
x→+∞
x + 1 + x
x→+∞
x + 1 + x
x→+∞
x + 1 + x
Agora vamos utilizar o Teorema do Confronto para resolver
1
lim
.
x →+∞
x + 1 + x
Vejamos, para x > 0 temos que
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