Cálculo Diferencial e Integral I

Resumo: Com esta definição e conforme vimos na seção anterior, temos que a
derivada da função f no ponto x = a representa geometricamente o coeficiente
angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto P( a,
f ( a))
, isto é,
m =
f ′(
a)
= lim
f ( x)
− f ( a)
=
x − a
lim
f ( a + ∆x)
− f ( a)
= lim
∆x
h→
x→a
∆x→0
0
f ( a + h)
−
h
f ( a)
,
desde que este limite exista. Neste caso, as equações das retas tangente e normal à
curva y = f (x) no ponto P( a,
f ( a))
podem ser reescritas, respectivamente, na forma:
y −
f ( a)
=
f ′(
a)(
x − a)
e
y −
f ( a)
= −
1
( x − a)
,
f ′(
a)
desde que
f ′(
a)
≠ 0.
Exemplo 1: Para o caso do exemplo 3, seção 3.1, o resultado pode ser
expresso da seguinte forma: Se f ( x)
= x então f ′(
a)
= 2a
.
2
Quando a função f possui derivada em todos os pontos de um conjunto
X ⊂ IR podemos considerar a função derivada, conforme a definição que segue.
Definição 2: Seja
f : X ⊂ IR → IR uma função que possui derivada em todos os
pontos do conjunto X . A derivada de f é a função f ′ : X ⊂ IR → IR
, que associa a
cada x ∈ X a derivada f ′(x)
, dado por
f ′(
x)
=
lim
f ( x + ∆x)
−
∆x
f ( x)
= lim
∆x→0
h→0
f ( x + h)
− f ( x)
h .
Além disso, dizemos que f é derivável (ou diferenciável) se é derivável em cada
ponto do seu domínio.
Observação 1: Se
dy
derivada de f , a saber: y′ = f ′(
x)
= = Dx
y .
dx
y = f (x) podemos utilizar outros símbolos para denotar a
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