Cálculo Diferencial e Integral I

Teorema do Confronto (ou Teorema do "Sanduíche"): Sejam f , g e h funções
I a x = a
definidas em um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em . Se
f ( x)
≤ g(
x)
≤ h(
x)
x∈ I lim f ( x)
= lim h(
x)
= L lim g(
x)
= L
para todo e
x → a x → a
, então
x→a
.
Figura: Ilustração gráfica do Teorema do Confronto
Observação 6: A ideia deste resultado é que podemos determinar o limite da
função g bastando para isso conhecer os limites das funções f e h que delimitam
g nas proximidades do ponto a .
Observação 7: O teorema do Confronto é também válido se substituirmos
+
−
x → a por x → a e x → a .
Exemplo 8: Seja a função g definida por g( x)
= x sen . Vimos, pelo gráfico
⎛ 1 ⎞
de g , que lim ⎜ x sen ⎟ = 0 . Uma alternativa para o cálculo deste limite, sem o
x→0
⎝ x ⎠
conhecimento do gráfico de g , é utilizar o Teorema do Confronto, como segue:
1
Sabemos que − 1 ≤ sen ≤ 1 para todo x ≠ 0 . Assim,
x
1
x
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