Cálculo Diferencial e Integral I

m
t
=
lim
x→4
f ( x)
− f ( 4)
x − 4
1
− 1
f ( 4 + h)
− f ( 4)
= lim
= lim
4 + h − 3
=
h→0
h
h→0
h
1−
( h + 1)
+ 1
− 1
= lim
h
= lim = − 1
h→0
h h→0
h(
h + 1)
lim
h→0
1
− 1
h + 1
h
Por outro lado, o coeficiente angular da reta normal
m n
é dado por
por:
m
n
− 1 − 1
= = = 1.
m − 1
t
Assim, as equações das retas tangente e normal são dadas, respectivamente,
y −1= −1(
x − 4)
e
⇔
y = − x + 5
y −1=
1(
x − 4)
⇔
y = x − 3
3.2 O conceito de Derivada
O limite
f ( x)
− f ( a)
lim
=
x − a
lim
f ( a + ∆x)
− f ( a)
= lim
∆x
h→
x→a
∆x→0
0
apenas para se obter o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
não é útil
tem outras aplicações em uma grande variedade de situações. Um nome especial é
dado a este limite. É chamado derivada de
f ′(
a)
ou
dy
dx
x=
a
. Isto nos conduz à seguinte definição:
f em
a
f ( a + h)
− f ( a)
h
mas
e é representada por
f
Definição 1: Seja f uma função definida em a . Então, a derivada de f no ponto
a , denotada por f ′(a)
(lê-se: f linha de a ), é dada por
f ′(
a)
= lim
f ( x)
− f ( a)
=
x − a
lim
f ( a + ∆x)
− f ( a)
= lim
∆x
h→
x→a
∆x→0
0
f ( a + h)
− f ( a)
,
h
desde que este limite exista. Neste caso, dizemos que f é derivável (ou
diferenciável) em a .
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