Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
∫
tg
3
x dx
= 2
2
∫
tg x⋅
tg x dx =
∫
tg x⋅
(sec x −1)
dx =
∫ tg x⋅sec
2
2
tg x
=
∫
tg x ⋅ sec x dx −∫
tg x dx = − ln cos x + C
2
Observação: Quando temos uma integral da forma R (cos x,sen
x)
dx , isto é,
o integrando é uma função racional de sen x e cos x , devemos fazer a seguinte
x
2
substituição t = tg ⇒ x = 2arctgt
⇒ dx = dt
2
.
2
1+
t
x − tg x dx =
x
2 x
2tg
1−
tg
2
2
Além disso, como 2
t
sen x = ⇒ sen x = e 2 1−
t
cos x = ⇒ cos x = .
2
2
2 x
1+
tg
1+
t
2 x
1+
tg
1+
t
2
2
Assim, quando utilizamos esta substituição podemos fazer uso das fórmulas
∫
2
2
dx dt
2
1+
t
2t
1+
t
1−
t
1+
t
2
= sen x = cos x =
2
2
.
Vejamos esta substituição no exemplo que se segue.
Exemplo 4: Calcule a integral
∫
dx
3 + 5cos x
Solução:
∫
dx
3 + 5cos x
1 2 2
1
=
∫ ⎛1−
t ⎞ + ∫
dt = − =
− ∫
dt
2
2
8 2t t − 4
3 + 5
⎜ ⎟
2
1 t
⎝ + ⎠
(* )
= ⋅
2 2 dt
1 t
(** ) 1 t − 2 1 t + 2 *)
= − + C = ln + C
ln
4
t + 2
4
x
2
(*)
Fazendo a substituição t = tg ⇒ x = 2arctgt
⇒ dx = dt
2
. Além disso, temos
2
1+
t
sen x
2t
1+
t
2
1−
t
1
e cos x = . (**)
Resolvendo a integral dt pelo método de
1+
t
∫ 2
t − 4
=
2
2
frações parciais, temos
t − 2
x
( tg + 2
1 = ln 2 + C
4 x
tg − 2
2
1 1 t − 2
∫
dt = ln
2
t − 4 4 t + 2
+ C
178