Cálculo Diferencial e Integral I

Figura 1: Ilustração gráfica do Teorema do Valor Intermediário
Observação 3: O teorema afirma que quando x varia de a até b a função
contínua f assume todos os valores entre f (a)
e f (b)
. Graficamente, para
qualquer número w entre f (a)
e f (b)
, a reta y = w intercepta o gráfico de f em
pelo menos um ponto. Daí concluímos que o gráfico de funções contínuas podem ser
traçados sem retirar o lápis do papel, isto é, não há interrupções no gráfico.
Uma infinidade de problemas pode ser reduzida a encontrar raízes da equação
f (x) = 0 . Um procedimento para aproximação de raízes está baseado na seguinte
consequência do Teorema do Valor Intermediário:
Teorema 6 (Teorema de Bolzano): Se
f
é uma função contínua num intervalo
fechado [ a,
b]
e f ( a)
⋅ f ( b)
< 0 (isto é, f (a)
e f (b)
são diferentes de zero e tem
sinais opostos) então existe ao menos um número c entre a e b tal que f (c) = 0 ,
isto é, f tem um zero em [ a,
b]
.
Figura 2: Ilustração gráfica do Teorema de Bolzano
54