Cálculo Diferencial e Integral I

Teorema 2 (Teste da 2ª derivada para Concavidade): Seja
f uma função
[ a,
b]
contínua no intervalo fechado e derivável até a 2ª ordem no intervalo aberto
( a , b)
c ∈ ( a,
b)
f
, exceto possivelmente num ponto crítico de .
• Se f ′ (x)
> 0 , ∀ x ∈ ( a,
b)
, então o gráfico de f tem concavidade voltada pra cima em
( a,
b)
.
• Se f ′ (x)
< 0 , ∀ x ∈ ( a,
b)
, então o gráfico de f tem concavidade voltada pra baixo em
( a,
b)
.
[ ] 0
Demonstração: Como f ′( x)
′ = f ′′(
x)
> , ∀ x ∈ ( a,
b)
, então, pelo teste da 1ª
derivada para crescimento/decrescimento aplicado à função f ′ , temos que f ′ é
crescente em ( a,
b)
. Daí, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em
( a,
b)
. É análoga a parte (i).
Observação 1: O teorema 2 diz que podemos obter informações sobre a
concavidade de f estudando o sinal da função f ′ (função derivada segunda de f ).
Definição 1 (Ponto de Inflexão): Um ponto P( c,
f ( c))
no gráfico de f é chamado
ponto de inflexão de f se f é contínua em c e existe um intervalo aberto ( a,
b)
contendo c tal que uma das seguintes situações ocorra:
• f é côncavo para cima em ( a , c)
e côncavo para baixo em ( c,
b)
.
• f é côncavo para baixo em ( a , c)
e côncavo para cima em ( c,
b)
.
ou seja, um ponto do gráfico de f no qual muda o sentido da concavidade.
Exemplo 1:
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