Cálculo Diferencial e Integral I

Exemplo 5: Determine a área limitada pelas curvas y = x 2 −1 e y = x + 5 .
Solução: Sejam f ( x)
= x 2 −1
e g( x)
= x + 5 . Inicialmente, vamos determinar a
interseção entre as curvas dadas. Vejamos,
x
−1
= x + 5 ⇒ x
1±
− x − 6 = 0 ⇒ x =
1+
24 1 5
⇒ x = .
2
2
2 2
±
Logo, as curvas se interceptam nos pontos de abscissa x = −2 e x = 3 . Note
que g( x)
≥ f ( x),
∀x
∈[
−2,3]
. Então a área procurada, que denotaremos por A , é
dada por
A =
3
∫
−2
2
[ g(
x)
− f ( x)
] dx = [(
x + 5) − ( x −1)
]
27
= +
2
22
3
=
125
6
3
∫
−2
2
⎡ x
dx = ⎢
⎣ 2
3
x ⎤
+ 6x
−
3
⎥
⎦
3
−2
⎡9
⎤ ⎡4
8⎤
=
⎢
+ 18 − 9 12 =
2 ⎥
−
⎢
− +
⎣ ⎦ ⎣2
3⎥
⎦
Portanto, a área é
125
6
unidades de área. Observe que recaímos basicamente
no Exemplo 4, o que fizemos foi transladar verticalmente para baixo, 1 unidade, a
região do Exemplo 4. É claro que, desta forma, o valor da área não se altera.
5.12 Cálculo de Volumes
Definição: Seja f uma função contínua e não negativa no intervalo [ a,
b]
e seja R
a região sob o gráfico de f de a até b . A volume do sólido de revolução T , gerado
pela rotação de R em torno do eixo dos x , é definido por
V =
desde que o limite exista.
lim
máx∆
x →0
i
π
n
∑
i=
1
f
2
( c i
) ∆x i ,
b
Observação: De acordo com a definição, temos a fórmula V = π f
2 ( x)
dx .
∫a
191