Cálculo Diferencial e Integral I

sen ( x)
lim
x→0
x
3
LF1
sen u
= lim
u→0
u
3
sen u
= lim3
⋅
u→0
u
sen u
= 3 ⋅ lim
u→0
u
=
3 ⋅1=
3
.
sen ( ax)
ax
Exemplo 2: Para calcular lim , sendo a ∈ IR
− { 0 } procedemos
x→0
conforme o exemplo anterior. Façamos a mudança de variável u = ax e verificamos
sen ( ax)
sen u
LF1
que se x → 0 , então u → 0 . Assim, lim = lim = 1.
x → 0 ax u → 0 u
Exemplo 3: Para calcular
cos h − 1
lim
h→0
h
façamos
cos h −1
⎛ cos h −1⎞
⎛ cos h + 1⎞
lim = lim ⎜ ⎟ =
0
0
⎜
1
⎟
h→
h h→
⎝ h ⎠ ⎝ cos h + ⎠
=
h→0
2
− sen h
lim
h (cos h + 1)
h→0
⎛ sen h sen h ⎞
= lim −
0
⎜ ⋅
1
⎟
h→
⎝ h cos h + ⎠
2
cos h −1
lim
h (cos h + 1)
LF1
=
( −1)
⋅0
= 0
cosh
−1
Portanto, lim = 0 .
h→0
h
Exemplo 4: Para calcular
lim ( 1+ x) x e lim ( 1+ x ) x
x→0
+
1
x→0
−
Portanto, lim 1+
x = .
1
lim
( x) x
1+
x→0 1
analisamos os limites laterais
. Em ambos os casos, façamos a mudança de variável
1
u = e utilizamos os limites fundamentais LF2 e LF3. Note que se
x
u → +∞ e, se x → 0
−
, então u → −∞ . Daí,
⎛ 1 ⎞
⎜ + ⎟
⎝ u ⎠
x → 0
+
x
( ) =
x
lim 1 x lim 1 = e e lim ( 1 x) = lim 1 = e
x→0
+
1
+
u→+
∞
x→
0
1
x
( ) e
u
x→0
−
1
+
u→−∞
⎛ 1 ⎞
⎜ + ⎟
⎝ u ⎠
u
, então
Exemplo 5: Para calcular lim 1 , sendo a ∈ IR
− { 0 }, façamos u = e
x→+∞
a ⎞
⎜
⎛ + ⎟⎠
⎝ x
verificamos que se x → +∞ , então u → 0 . Assim,
x
a
x
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