Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
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Uma conseqüência importante do teorema 3 é que se duas funções f e g tem
a mesma derivada em um intervalo aberto ( a,
b)
então f e g difere por uma
constante. Vamos formalizar este resultado.
Consequência do Teorema 3: Sejam f e g funções contínuas em [ a,
b]
e
derivável em ( , b)
. Suponha que f ′( x)
= g′
( x),
∀ x ∈ a,
b . Então existe um número
a ( )
c tal que f ( x)
= g(
x)
+ c,
∀ x ∈[ a,
b]
.
De fato, seja H ( x)
= f ( x)
− g(
x),
∀ x ∈ a,
b .
Como f e g são funções contínuas em [ a , b]
e derivável em ( a,
b)
temos que
H = f − g é contínua em [ a , b]
e derivável em ( a,
b)
. Por outro lado, como
f ( x)
= g′
( x)
temos que H ′( x)
= f ′(
x)
− g′
( x)
= 0,
∀ x ∈ a,
b , ou seja, H é constante
em [ a,
b]
. Daí existe um IR
tal que H ( x)
= f ( x)
− g(
x)
= c,
∀ x ∈ a,
b , ou seja,
.
[ ]
′ [ ]
c ∈ [ ]
[ a b]
f ( x)
= g(
x)
+ c,
∀ x ∈ ,
4.4 Máximos e Mínimos
Definição 1: Dizemos que uma função
f
• tem um valor máximo relativo (ou máximo local) em c se existe um intervalo aberto
I ⊂ Dom( f ) , contendo c , tal que f ( c)
≥ f ( x)
para todo x em I . Neste caso, dizemos que
f (c) é um valor máximo relativo (ou, simplesmente, máximo relativo) de f .
• tem um valor mínimo relativo (ou mínimo local) em c se existe um intervalo aberto
I ⊂ Dom( f ) , contendo c , tal que f ( c)
≤ f ( x)
para todo x em I . Neste caso, dizemos que
f (c) é um valor mínimo relativo (ou, simplesmente, mínimo relativo) de f .
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