Cálculo Diferencial e Integral I

Demonstração: Sabemos que a função inversa da função tangente é definida
π π
por y = arctg x ⇔ tg y = x e − < y < . Derivando implicitamente em relação a
2 2
a equação tg y = x obtemos
x
d
dx
d
2
1
tg = ⇔ (sec y)
y′=
1 ⇒ y′
= .
dx
2
sec y
[ y] [ x]
Uma vez que
2
2
sec y = 1+
tg y e tg y = x , segue que
y
1
′ = = = ou seja,
2
2
2
sec
1
y
1+
tg
x
1
1+
x
d
dx
(arctg x)
1
= .
2
1+
x
Observação 2: De forma análoga, podemos derivar a função inversa da
secante, cossecante e cotangente.
Supondo u = g(x) uma função derivável, podemos deduzir também outras
consequências da regra da cadeia relacionadas com as funções inversas, a saber:
(1)
(2)
(3)
(4)
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
[ lnu] = 1 ⋅u
u
[ arcsenu] = ⋅ u
′
1
1−
u
[ arccos u] = − ⋅ u
1
2
1
1−
u
[ arctgu] = ⋅ u
1+
u
2
′
2
′
′
Exemplo 2: Para derivar
3
y = arcsen x
aplicamos a regra
d
dx
1
[ arcsenu] = ⋅u
1−
u
2
′ , juntamente com a regra do quociente. Daí,
d
dx
2
3 1 3 3x
[ arcsen x ] =
⋅( x )′
=
3 2
6
1−
( x )
1−
x
.
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