Cálculo Diferencial e Integral I

Definição: Dizemos que:
• f é contínua à direita em a ⇔ lim
x→a
+
f ( x)
= f ( a)
;
• f é contínua à esquerda em b ⇔ lim
x→b
−
f ( x)
= f ( b)
;
• f é contínua em um intervalo aberto ( a , b)
se for contínua em cada ponto de ( a,
b)
;
• f é contínua em um intervalo fechado aberto [ a , b]
se for contínua em ( a,
b)
, contínua à
direita em a e à esquerda em b ;
• f é contínua se for contínua em cada ponto de seu domínio.
Observação: De forma análoga, podemos definir uma função contínua nos
intervalos [ a , b)
, ( a , b]
, ( −∞ , +∞)
, [ a , +∞)
, ( a , +∞)
, ( −∞ , b]
, ( −∞,
b)
. A figura abaixo
ilustra o gráfico de funções definidas num intervalo fechado [ a,
b]
.
(i) (ii) (iii)
Figura 5: Ilustração gráfica de algumas funções definidas em [ a,
b]
• A função (i) é descontínua à direita em x = a e contínua à esquerda em x = b ;
• A função (ii) é contínua à direita em x = a e descontínua à esquerda em x = b ;
• A função (iii) é contínua à direita em x = a e à esquerda em x = b .
Exemplo 4: Para mostrar que a função f definida por f ( x)
= 2x
− 6 é
contínua devemos mostrar que f é contínua em cada ponto de seu domínio que é
dado por [ 3,
+∞)
, ou seja, necessitamos investigar a continuidade de f no intervalo
aberto ( 3,
+∞)
e a continuidade à direita no extremo x = 3 . De fato,
• f é contínua à direita em x = 3 pois lim f ( x)
= lim 2x
− 6 = 0 = f ( 3)
.
x→3
+
x→3
+
• f é contínua em ( 3 , +∞)
pois para qualquer c ∈ ( 3,
+∞)
tem-se que
lim f ( x)
= lim 2x
− 6 = 2c
− 6 = f ( c)
.
x → c x → c
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