Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
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Exemplo 3: Calcule a integral
∫
2
3x
− 7x
+ 5
3 2
x − 5x
+ 8x
− 4
dx
Vejamos,
Solução: O primeiro passo é decompor o denominador da função racional.
x
3
−
+ 8x
− 4
( x
1)( x
2
5 = − −
x
de fatores lineares distintos, alguns dos quais repetidos. Assim,
2)
2
. Desta forma o denominador é um produto
∫
x
3
3x
2
− 5x
− 7x
+ 5
2
+ 8x
− 4
dx
2
3x
− 7x
+ 5
=
∫
dx
2
( x −1)(
x − 2)
2
3x
− 7x
+ 5
=
∫
dx
2
( x −1)(
x − 2)
* )
∫
1
dx + 2
x 1
∫
(
=
)
1
x − 2
dx + 3
−
2
∫
1
( x − 2)
dx
3
= ln x −1
+ 2ln x − 2 − + K
x − 2
3 2
3
= ln x − 5x
+ 8x
− 4 − + K .
x − 2
• Para x = 1, temos que A = 1
• Para x = 2 , temos que C = 3
• Para x = 3 , temos que A + 2 B + 2C
= 11⇒
2B
= 11−
7 ⇒ B = 2
Portanto, podemos escrever
2
3x
− 7x
+ 5 A B C
(*
= + +
2
2
( x −1)(
x − 2) x −1
x − 2 ( x − 2)
A(
x − 2)
2
+ B(
x −1)(
x − 2) + C(
x −1)
= 3x
2
3x
− 7x
+ 5
( x −1)(
x − 2)
2
2
⇒
− 7x
+ 5
1 2 3
= + +
x −1
x − 2 ( x − 2)
2
(Caso 3) q(x) é um produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis,
sendo que os fatores quadráticos não se repetem.
Neste caso, para cada fator quadrático irredutível ( ∆ = b
− 4c
< 0 ) da forma
2
Ax + B
x + bx + c , corresponderá uma fração parcial da forma
2
Estas constantes
x + bx + c
podem ser determinadas conforme o exemplo que se segue.
2
Exemplo 4: Calcule a integral
∫
2
x + x + 1
dx
3 2
x + x + x − 3
Solução: O primeiro passo é decompor o denominador da função racional.
3 2
2
Vejamos, x + x + x − 3 = ( x −1)(
x + 2x
+ 3) . Desta forma, o denominador é um
produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis. Assim,
174
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