Cálculo Diferencial e Integral I

Exemplo 4: Para mostrar que
tem um zero entre
1 e 2 observamos inicialmente que f é uma função polinomial e portanto contínua
para todo número real, em particular, será contínua no intervalo [ 1,
2]
. Uma vez que
f ( 1 ) = −4
< 0 e ( 2 ) = 17 f ( 1 ) ⋅ f ( 2)
< 0 , o Teorema de Bolzano garante a existência
de um número c entre 1 e 2 tal que
f ( )
5
f ( c)
= c + 2c
− 6c
+ 2c
− 3 = 0 .
Note que, o Teorema de Bolzano não informa qual é o valor deste número
nem garante a unicidade. No caso deste exemplo, podemos mostrar que também
existe uma raiz entre −1
e 0 já que f é contínua no intervalo [ −1,
0]
e
f ( − 1 ) ⋅ f ( 0)
< 0 . O gráfico abaixo ilustra a localização das raízes às quais mostramos a
sua existência.
5
4
f ( x)
= x + 2x
− 6x
+ 2x
− 3
4
3
3
c
e
Figura 3: Gráfico da função
5 4 3
f ( x)
= x + 2x
− 6x
+ 2x
− 3
Observação 4: Este exemplo ilustra um esquema para a localização de raízes
reais de um polinômio. Utilizando um método de aproximações sucessivas, podemos
aproximar cada zero do polinômio com qualquer grau de precisão bastando enquadrálos
em intervalos cada vez menores.
Uma forma equivalente do Teorema de Bolzano é a seguinte resultado:
Teorema de Bolzano (Forma equivalente): Se uma função
f é contínua num
intervalo fechado e não tem zeros neste intervalo, então ou f (x) > 0 ou f (x) < 0 em
todo intervalo.
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