Cálculo Diferencial e Integral I

x + 1 > x ∀ x > 0
⇒
Por outro lado ,
x + 1 + x > x + x = 2 x
, ,
∀ x > 0
⇒
1 1
<
x + 1 + x 2 x
,
∀ x > 0
.
Portanto, para todo
x > 0 , temos
1 1
0 <
<
x + 1 + x 2 x
.
Uma vez que lim 1
0 = 0 e lim = 0 segue que
x→+∞
x→+∞
2 x
lim
x→+∞
1
( x + 1 − x ) = lim
= 0
x→+∞
x + 1 +
x
.
Observação 6: Na prática, para calcular
1
lim
x +∞ x + +
→ 1
x
procedemos da seguinte maneira: Como x + 1 e x crescem indefinidamente
quando x cresce temos que x + 1+
x cresce indefinidamente, quando x cresce.
Assim, quando x cresce,
1
x + 1+
x
tende a zero, isto é, lim 1
= 0 .
x→+∞
x + 1+
x
lim
x→a
Observação 7: No caso de lim f ( x)
= +∞ e lim g(
x)
= +∞ é comum dizer que
( f ( x)
− g(
x)
)
pode afirmar de imediato sobre
x→a
x→
a
tem uma indeterminação do tipo ∞ − ∞ . Nesta situação, nada se
lim
x→a
( f ( x)
− g(
x)
)
. Dependendo quais são as funções
f e g o limite da diferença pode assumir qualquer valor real ou não existir. No
exemplo 5 verificamos que o limite existiu e seu valor foi zero. Vejamos mais um
exemplo do caso de indeterminação do tipo ∞ − ∞ em que o valor do limite existe e
não é igual a zero.
Exemplo 6: Para calcular
lim
(
x→ +∞
x
4
+ x
2
−
x
2
)
procedemos da seguinte
forma:
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