Cálculo Diferencial e Integral I

x
Já, o gráfico de g x
⎞
⎜
⎛ 1
( ) = 1 + x
⎟ , esboçado na figura 2, mostra que g(x)
tende
⎝ ⎠
para o número e quando x tende para (+)
ou (−)
infinito.
Figura 2: Gráfico da função
g x ⎜
⎛ 1
( ) = 1 + x
⎝
⎟ ⎠
⎞
x
Justificativa de LF4
Quanto a veracidade da afirmação
lim
x→0
a x
−1
= ln a
x
( a > 0,
a ≠ 1)
utilizamos a mudança de variável y = a
x − 1 e, nesse caso, a x = 1 + y . Daí,
x
log a ( a ) = log a ( 1 + y)
, ou seja, x ⋅ log a a = log a ( 1+
y)
. Como log a a = 1 temos que
x = log a ( 1+
y)
. Assim, quando x → 0 então y → 0 e, portanto,
x
a −1
lim = lim
x→0
x y→0log
1
=
⎡
1 ⎤
y
log ⎢ lim ( 1+
y)
⎥
a ⎢ y→0
⎥
⎣ ⎦
a
y
( 1+
y)
LF2
=
1
= lim
y→0⎛
1 ⎞
⎜ ⎟loga(
1+
y)
⎝ y ⎠
1
log e
a
= logea
= ln a
=
lim
y→0
a
1
1
y
log ( 1+
y)
sen ( 3x)
x
Exemplo 1: Para calcular lim façamos a mudança de variável u = 3x .
x→0
u
Daí, temos x = e, quando x tende a zero, u tende a zero (em símbolos: se x → 0 ,
3
então u → 0 ). Portanto, vemos que
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