Cálculo Diferencial e Integral I

5.8 Área e Integral Definida
Agora vamos introduzir o conceito de integral definida. Veremos as
propriedades das integrais definidas e veremos o Teorema Fundamental do Cálculo
que é a peça chave de todo o Cálculo Diferencial e Integral, pois é o elo de ligação
entre as operações de derivação e integração. Veremos dentro das aplicações da
integral, o cálculo de áreas entre curvas e volumes de sólidos de revolução.
Considere uma função contínua e não negativa f . Desejamos analisar agora o
problema de definir a área A de uma região plana S , delimitada pelo gráfico de f ,
pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b , conforme figura 1.
f a b
Figura 1: Área sob o gráfico de , de até .
Para calcular esta área, considere uma partição P do intervalo [ a,
b]
, isto é,
uma subdivisão do intervalo [ a,
b]
em n subintervalos, escolhendo os pontos
a = x < x < x < < x
−
< x < < x
1
2
i 1 i
n
=
b .
0
1
Com o objetivo de entender a definição, considere também
o comprimento do intervalo [ xi
− 1,
xi
] .
]
∆x
i
= x
i
− x
i−
Além disso, em cada um destes intervalos
c i
qualquer .
[
i 1,
xi
x −
, escolhemos um ponto
Para cada i , i 1,
,
n , construímos um retângulo de base ∆ x e altura f c ) .
= i
A soma das áreas dos n retângulos, que denotaremos por S , é dada por
n
( i
S
n
=
n
∑
f ( c1 ) ∆x1
+ f ( c2)
∆x2
+ +
f ( c ) ∆x
= f ( c ) ∆x
n
n
i=
1
i
i
Esta soma é denominada soma de Riemann da função f . Note que à medida
que n cresce muito e cada ∆ , i = 1,2,
,
n , torna-se muito pequeno, a soma das
x i
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