Cálculo Diferencial e Integral I
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
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Exemplo 1: A equação
x
2
+ y
2
= 16
define implicitamente a função
f ( x)
= −
16 − x
obtemos a identidade
2
, pois substituindo y = − 16 − x na equação x + y = 16 ,
2
2
2
x
2
2
2 2
+
⎡
− 16 − x
⎤
= x + 16 − x
⎢⎣ ⎥⎦
2
= 16 .
Neste caso é possível resolver a equação x + y = 16 isolando y como uma (ou até
mais de uma) função explícita de x . Por exemplo, podemos resolver esta equação
2
2
escrevendo
2
2
y = 16 − x ou y = − 16 − x que são duas funções explícitas de x
que satisfazem a equação dada. Assim, se y = 16 − x temos, pela consequência 1
dy 1
x
da regra da cadeia, = ⋅ ( −2x)
= −
ou, equivalentemente,
dx
2
2
2 16 − x
16 − x
dy
dx
=
−
x
y
.
2
Note que, se escolhemos a função
y = −
16 − x
2
(forma explícita) temos que
dy
dx
1
= −
⋅ ( −2x)
= −
2
2 16 − x
−
x
16 − x
2
dy x
ou, equivalentemente, = − .
dx y
Devemos observar que existem várias outras funções na forma explícita que
2
2
satisfazem também a equação x + y = 16 , por exemplo, a função h , definida por
⎧
⎪
h ( x)
= ⎨
⎪
⎩−
16 − x
2
16 − x
2
se
se
− 4 ≤ x ≤ 0
.
0 < x ≤ 4
dy x
e sua derivada também é dada por = − sendo y = h(x)
.
dx y
No entanto, nem sempre é fácil encontrar, quando existir, a forma explícita de
uma função definida implicitamente por uma equação. Por exemplo, se fosse para
explicitar y como uma função de x em x + y = 18xy
, a tarefa seria bem
complicada. Com o uso do software GeoGebra podemos traçar a curva descrita por
esta equação
figura 1.
3
3
3
x + y = 18xy
. Esta curva é denominada Fólio de Descartes, veja
3
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