Cálculo Diferencial e Integral I

⎛ π ⎞ π
π
Como y = sen ⎜ − x⎟
= sen cos x − sen xcos
= cos x , acabamos de mostrar que
⎝ 2 ⎠ 2
2
(cos x)
′ = − sen x .
Consequências da Regra da Cadeia:
Se α é um número real qualquer e
g
é uma função derivável então
α
α −1
[ g(
x)
] ⇒ y′
= [ g(
x)
] ⋅ g ( x)
y =
α ′ .
Alternativamente, se
u = g(x)
, então
α α −1
′
( u ) = α u ⋅ u′
A justificativa deste resultado é imediata. De fato, se tomarmos
α
f ( x)
= x e u = g(
x)
então podemos escrever y = ( f g)(
x)
= f ( g(
x))
. Como
α −1
′
f ( x)
= α x
então, pela regra da cadeia, segue que
α
[ g(
x)
] ⋅ g ( )
y = ( f g)
′(
x)
= f ′(
g(
x))
⋅ g′
( x)
= α
′ x
′
−1
.
Essa consequência é útil para calcular a derivada da potência de uma função.
Na prática, podemos omitir a substituição u = g(x) , conforme o exemplo 16.
Exemplo 15: Para derivar
podemos proceder alternativamente
utilizando a consequência 1 da regra da cadeia com u = g( x)
= 2 x + 1 e α = 1037 .
Daí,
[ g(
x)
]
α −1
1037−
1
′ ′
y = α
= 1037(
2x
+ 1)
y = ( 2 x + 1)
⋅ g ( x)
= 1037(
2x
+ 1)
1036
1037
⋅ 2 = 2074(
2x
+ 1)
1036
⋅
d
dx
( 2x
+ 1)
3 2
2
Exemplo 16: Para derivar y = 3 x + 6x
+ 1 escrevemos y = ( 3 x + 6x
+ 1) 3 e
usamos a consequência 1 com α = e g ( x)
= 3x
+ 6x
+ 1. Daí,
3
y′
= α
α −1
−1
2
[ g(
x)
] ⋅ g′
( x)
= ( 3x
+ 6x
+ 1) 3
⋅ ( 6x
+ 6)
= 2( x + 1)
1 2
1
3
( ) 2
2
− 2( x + 1)
3x
+ 6x
+ 1 3 =
.
3 2
2
(3x
1
+ 6x
+ 1)
Algumas vezes, para derivar determinadas funções podemos ter à disposição
mais de um método de derivação, como veremos no exemplo 17.
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