Cálculo Diferencial e Integral I

CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES DA DERIVADA
4.1 Taxa de Variação
Vimos que a interpretação geométrica da derivada de uma função f em um
ponto P( a,
f ( a))
é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em P .
Agora veremos que a derivada de uma função f pode ser interpretada como uma
“taxa de variação de f em relação a x ” em um ponto ( x,
f ( x))
. Veremos que
existem muitas aplicações práticas da taxa de variação, como por exemplo,
velocidade, aceleração, taxa de crescimento de uma população e outras.
A taxa de variação pode ser de dois tipos: taxa de variação média e taxa de
variação instantânea. Para introduzirmos essas taxas e analisarmos a diferença entre
elas, necessitamos de definições e algumas notações específicas.
Relembramos que o símbolo ∆ (delta) quando escrito na frente de uma
variável significa a diferença entre dois valores desta variável. Assim, a notação
padrão para representar a variação de uma variável x é ∆x (leia-se "delta x "), de
modo que ∆x
= x 1 − x o (valor final de x menos o valor inicial de x ) representa a
variação em x ao se passar do primeiro valor para o segundo. Também vale ressaltar
que ∆x
não é o produto de um número ∆ por um número x , mas um único número,
que poderá ser positivo ou negativo, denominado variação de x ou incremento de x .
Podemos considerar também x x + ∆x
.Se y = f (x e a variável independente
1 = o
)
muda de x para x = xo + ∆x
então podemos definir ∆ e ∆y
da seguinte maneira:
o
1 x
∆ x = x1 − x = ( x + ∆x)
− x e y = f x ) − f ( x ) = f ( x + ∆x)
− f ( x )
o
o
o
∆ ( 1 o o
o
Note que, neste caso, o valor de ∆y
depende de x e de ∆x
.
o
Figura 1: Representação gráfica de
∆x
e
∆y
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