Cálculo Diferencial e Integral I

determinar
Pelos dados do problema podemos escrever
dy
dt
m/s e precisamos
.Pelo Teorema de Pitágoras podemos relacionar as variáveis
x = 9
x = x(t) e y = x(t)
, obtendo a equação ( 24 − y ) = ( 12)
+ x . Derivando
implicitamente, em relação a t , encontramos
d
dt
d
[ 24
2
y ] = [ 12
2 +
2
( ) ( ) x ]
Expressando a taxa que você deseja determinar em termos das taxas e variáveis
cujos valores são conhecidos, temos
dy
dt
=
− x
144 + x
2
⋅
dx
dt
.
Substituindo as informações numéricas dadas
dx
dt
= 1 , 5 =
⎛ dy ⎞
− ⇔ 2 ( 24 − y)
⋅ ⎜ − ⎟ = 2 x ⋅
dt
⎝ dt ⎠
dy
dt
− x
= ⋅ 24 − y
dx
dt
2
3
2
2
2
dx
dt
ou, equivalentemente,
dy
dt
x = 9
=
− 9
144 + 9
2
⎛ 3 ⎞
⋅⎜
⎟ = −
⎝ 2 ⎠
9
10
= − 0,
9
m/s
Portanto, a velocidade que o saco de areia está sendo levantado quando o
trabalhador está a 9 m do ponto P é de 0,9 m/s. O significado da velocidade
negativa indica que a distância y está decrescendo com o tempo, de acordo com a
modelagem do problema, o que indica que o saco de areia está subindo. Este
problema pode ser modelado de outra forma, o que não altera a resposta do
problema.
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