Cálculo Diferencial e Integral I

2,9
≤ t ≤ 3
2,99
≤ t ≤ 3
0,1 5,9 59
0,01 0,599 59,9
2, 999 ≤ t ≤ 3
0,001 0,05999 59,99
3 ≤ t ≤ 3,2
3 ≤ t ≤ 3,1
3 ≤ t ≤ 3,01
3 ≤ t ≤ 3,001
0,2 12,4 62
0,1 6,1 61
0,01 0,601 60,1
0,001 0,060 60,01
Com base na tabela acima, podemos observar que, quanto menor for o valor de
∆s
∆t > 0 , a velocidade média v m = , em intervalos de tempo do tipo [ 3 , 3+ ∆t]
ou
∆t
[ 3− ∆t,
3]
, torna-se cada vez mais próxima de 60 km/h. Assim, a estimativa para
velocidade exata (velocidade instantânea) no momento t = 3 horas será
∆s
v ( 3)
≈ ≈ 60 km/h.
∆ t
Em geral, para caracterizarmos o estado do movimento num dado instante t ,
vamos imaginar intervalos de tempo ∆t cada vez menores, para que as velocidades
médias correspondentes possam dar informações cada vez mais precisas do que se
s(
t + ∆t)
− s(
t)
∆ s
passa neste instante. A velocidade média v m =
= torna-se cada vez
∆t
∆t
mais próxima da velocidade instantânea, v = v(t) , no instante t , quanto menor for o
∆s
valor ∆t . Assim, v ≈ , e essa aproximação será cada vez melhor quanto menor for
∆t
o valor ∆ t . Isto nos leva ao conceito de velocidade instantânea, v = v(t)
, no instante
s(
t + ∆t)
− s(
t)
∆ s ds
t , como sendo v( t)
= lim
= lim = = s′
( t)
, isto é, a velocidade
∆t→0
∆ t
∆t→0
∆ t dt
instantânea no instante t ou, simplesmente, velocidade no instante t , é a derivada
do espaço em relação ao tempo no instante t .
2
Exemplo 2: A função s , definida por s ( t)
= 10t , 0 ≤ t ≤ 4 , fornece a distância,
em km, em linha reta, que um motorista de caminhão se encontra do local de partida
após t horas. Para obter a velocidade exata em t = 3 (velocidade instantânea),
observamos os valores da velocidade média nas vizinhanças de t = 3 , com intervalos
cada vez menores, isto é, quando ∆ t se aproxima de zero ( ∆t → 0 ). O valor exato da
∆s
velocidade no instante t = 3 é dado por v(
t)
= lim = s′
( t)
= 20t
.
∆ t → 0 ∆t
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